Varianta de afișare

Variația afișajului este o caracteristică numerică a afișajului asociată cu proprietățile sale diferențiale.

Conceptul de „variație de afișare” a fost definit de S. Banach [1] .

Caz bidimensional

Luați în considerare definiția unei variații de mapare pentru cazul bidimensional.

Lasă maparea

\alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),

unde și sunt funcții pătrat-continue . Se spune că o mapare are variație mărginită dacă există un număr astfel încât, pentru orice succesiune de pătrate care nu se suprapun cu laturile paralele cu axele de coordonate , inegalitatea $f(u,\;v)$ $\varphi (u,\;v)$ $D_{0}=[0,\;1]\times [0,\;1]$ $\alfa$ $M>0$ $D^{i}\subset D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots )$ $u,\;v$

\sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,

unde este imaginea setului de sub mapare , $D_{xy)$ $D^{i}\subset D_{0}$ $\alfa$

$\mathrm {mes} \,D$ este măsura Lebesgue plată a mulțimii . $D$

Valoarea numerică a variației afișajului poate fi determinată în diferite moduri. De exemplu, dacă o mapare are variații limitate, atunci variația sa poate fi determinată prin formula: $V(\alpha )$ $\alfa$ $V(\alpha )$

V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,

unde este numărul de soluții ale sistemului sau așa-numita indicator Banach a mapării . $N(s,\;t)$ $f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t$ $\alfa$

Sa arătat [2] că, dacă o mapare are variație mărginită, atunci aproape peste tot există un Jacobian generalizat , unde , care este integrabil pe . în care $\alfa$ $D_0$ $J(P)$ $P\subset D_{0)$ $D_0$

J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \, K\ la 0}{\frac {\mathrm {mes} \, K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},

unde este un pătrat care conține un punct ale cărui laturi sunt paralele cu axele ; $K\subset D_{0}$ $P\subset D_{0)$ $u,\;v$

$K_{xy)$ este imaginea setului ; $K$

$\mathrm {mes} \,K$ este măsura Lebesgue plată a mulțimii . $K$

Literatură

Lavrentiev, M. A., Shabat, B. V. Metode ale teoriei funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1987. — 688 p.
Griffiths, F. Sisteme diferențiale externe și calculul variațiilor. — M .: Mir, 1986. — 360 p.
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - Ed. a VII-a. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 . .

Note

↑ Banach S. Fundamenta Mathematicae. - 1925. - or. 7. - p. 225--236.
↑ Kudryavtsev L. D. Întrebări metrice ale teoriei funcțiilor și mapărilor. - în. 1. - K., 1969. - p. 34-108