Ecuații fără legătură externă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 mai 2019; verificarea necesită 1 editare .

Regresiile aparent nerelatate ( SUR) este un sistem de ecuații econometrice , fiecare dintre acestea fiind o ecuație independentă cu propriile sale variabile exogene dependente și explicative. Modelul a fost propus de Zelner în 1968. O caracteristică importantă a acestor ecuații este că, în ciuda aparentei lipsuri de relație a ecuațiilor, se presupune că erorile lor aleatoare sunt corelate între ele.

Model matematic

Să fie m ecuații liniare econometrice , fiecare dintre acestea putând fi scrisă sub formă de matrice după cum urmează:

y_{i}=X_{i}b_{i}+\varepsilon _{i}~,~i=1,\ldots ,m

Se presupune că eroarea aleatorie a fiecărei ecuații satisface ipotezele clasice despre absența heteroscedasticității și a autocorelației , adică matricea de covarianță a vectorului de erori aleatoare a fiecărei ecuații are forma: . Cu toate acestea, poate exista o corelație de erori aleatoare între ecuații (în aceeași observație). În plus, varianțele erorilor aleatoare în diferite ecuații nu sunt, în general, aceleași. Să notăm covarianțele dintre erori aleatoare în diferite ecuații . Atunci pentru fiecare observație vectorul erorilor aleatoare ale ecuațiilor are o matrice de covarianță . $V(\varepsilon _{i})=\sigma _{i}^{2}I_{n}$ $\sigma_{ij}$ $\Sigma =[\sigma _{{ij}}]$

Să introducem notația

y={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{m}\end{pmatrix}}~,

X={\begin{pmatrix}X_{1}&0&\ldots &0\\0&X_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &X_{m }\end{pmatrix}}~,

b={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{pmatrix}}~,

\varepsilon ={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\vdots \\\varepsilon _{m}\end{pmatrix}}

Apoi modelul poate fi reprezentat în următoarea formă, similar cu regresia liniară obișnuită:

y=Xb+\varepsilon

Matricea de covarianță a vectorului de eroare aleatorie a unui astfel de model va avea o formă de bloc, fiecare dintre blocurile cărora este egal cu . Acest lucru poate fi simplificat în termeni de matrice folosind produsul Kronecker : $\sigma _{{ij}}I_{n}$ $\Sigma$

V(\varepsilon )=\Sigma \otimes I_{n}

Metode de evaluare

Deoarece fiecare ecuație prin ipoteză satisface ipotezele clasice, metoda obișnuită a celor mai mici pătrate poate fi utilizată pentru estimarea parametrilor acestora. Cu toate acestea, această abordare nu ia în considerare informații suplimentare despre corelațiile dintre ecuații. Estimări mai eficiente pot fi obținute folosind metoda celor mai mici pătrate generalizate :

{\hat {b}}_{{SUR}}=(X^{T}V^{{-1}}X)X^{T}V^{{-1}}y~,~V^{ {-1}}=\Sigma ^{{-1}}\otimes I_{n}

Totuși, problema aplicării LSM-ului generalizat, după cum se știe, este matricea de covarianță necunoscută a erorilor, în acest caz, matricea . Prin urmare, se utilizează următoarea procedură FGLS (accessible generalized small squares) în două etape. La primul pas, se aplică LSM-ul obișnuit și se găsesc restul ecuațiilor. Pe baza acestor reziduuri, matricea este estimată : apoi se aplică LSM-ul generalizat. Teoretic, procedura poate fi continuată iterativ folosind reziduurile nou obținute pentru a reevalua matricea de covarianță și a aplica cele mai mici pătrate generalizate. $\Sigma$ $\Sigma$ ${\hat \sigma }_{{ij}}=e_{i}^{T}e_{j}/n$

Estimările astfel obținute sunt consistente și asimptotic normale. Evident, dacă matricea este diagonală, adică atunci când erorile aleatoare ale diferitelor ecuații nu se corelează între ele, atunci astfel de estimări vor coincide cu estimările celor mai mici pătrate obișnuite. Același lucru este valabil atunci când toate ecuațiile conțin același set de variabile, adică . $\Sigma$ $X_{1}=X_{2}=...=X_{m}$

În plus față de aceste abordări de bază, este, de asemenea, posibilă utilizarea metodei probabilității maxime în ipoteza unei distribuții normale a erorilor aleatorii.

Ecuații fără legătură externă

Model matematic

Metode de evaluare

Vezi și