Sistem de ecuații simultane

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 8 noiembrie 2018; verificările necesită 3 modificări .

Un sistem de ecuații simultane este un set de ecuații econometrice (adesea liniare ) care determină interdependența variabilelor economice. O caracteristică distinctivă importantă a sistemului de ecuații „simultane” de alte sisteme de ecuații este prezența acelorași variabile în părțile din dreapta și din stânga diferitelor ecuații ale sistemului (vorbim despre așa-numita formă structurală a modelului , vezi mai jos).

Variabilele sunt numite endogene, ale căror valori sunt determinate în procesul de funcționare a sistemului economic studiat. Valorile acestora sunt determinate „simultan” pe baza valorilor unor variabile exogene, ale căror valori sunt determinate în afara modelului, sunt stabilite din exterior. În sistemele de ecuații simultane, variabilele endogene depind atât de variabilele exogene, cât și de cele endogene.

Măsurarea strângerii relației dintre variabile, construcția de ecuații de regresie izolate nu este suficientă pentru a explica funcționarea sistemelor economice complexe. O modificare a unei variabile nu poate avea loc în timp ce celelalte rămân absolut neschimbate. Schimbarea sa va atrage modificări în întregul sistem de caracteristici interconectate. Astfel, o singură ecuație de regresie nu poate caracteriza adevărata influență a caracteristicilor individuale asupra variației variabilei rezultate. Prin urmare, în cercetarea economică, problema descrierii structurii relațiilor dintre un sistem de variabile a ocupat un loc important.

Forma structurala si redusa. Identificabilitate

Forma structurală a unui sistem este o reprezentare de sistem în care mai multe variabile endogene pot fi prezente în ecuații (în notație standard, aceasta înseamnă că există variabile endogene în partea dreaptă a ecuațiilor, adică ca regresori). Forma structurală a sistemului descrie sistemul de interdependențe dintre variabilele economice.

${\begin{cases}y_{1t}=\sum _{(i\not =1)}a_{1i}y_{it}+\sum _{j=1}^{q}b_{1j }x_{jt}+\varepsilon _{1t}\\y_{2t}=\sum _{(i\not =2)}a_{2i}y_{it}+\sum _{j=1}^{ q}b_{2j}x_{jt}+\varepsilon _{2t}\\...\\y_{pt}=\sum _{(i\not =p)}a_{pi}y_{it}+ \sum _{j=1}^{q}b_{pj}x_{jt}+\varepsilon _{pt}\\\end{cases}}$

Prin transferarea variabilelor endogene în partea stângă, forma structurală poate fi reprezentată în următoarea formă matriceală

$YA=XB+E$

Forma redusă (predictivă) a sistemului este reprezentarea sistemului, în care fiecare ecuație are o singură variabilă endogene, adică variabilele endogene sunt exprimate prin cele exogene:

$Y=X\Pi+U$

Aceasta este așa-numita formă redusă nerestricționată. Forma structurală poate fi scrisă după cum urmează:

$Y=XBA^{-1}+EA^{-1}$

Aceasta este așa-numita formă restrânsă redusă, adică o formă redusă cu o restricție asupra coeficienților de următoarea formă: . $\Pi =BA^{-1}$

Dacă este dată o formă structurală, atunci este întotdeauna posibil să se obțină o formă redusă restrânsă (se presupune că matricea A este nedegenerată). Cu toate acestea, contrariul nu este întotdeauna posibil și, dacă este posibil, nu este întotdeauna clar.

O ecuație structurală se numește identificabilă dacă coeficienții ei pot fi exprimați în termeni de coeficienți ai formei reduse. Dacă acest lucru se poate face într-un singur mod, atunci ei spun despre identificabilitatea exactă , dacă în mai multe moduri - despre supraidentificare . În caz contrar, se numește neidentificabil. Supraidentificare înseamnă de fapt că unele restricții (supraidentificare) sunt impuse coeficienților formei reduse. În forma completă redusă , toate variabilele exogene sunt implicate și nu sunt impuse restricții asupra coeficienților.

O condiție necesară pentru identificarea unei ecuații structurale ( condiția ordinală ): numărul de variabile din partea dreaptă a ecuației nu trebuie să depășească numărul tuturor variabilelor exogene ale sistemului . În forma canonică (când nu există părți „stânga” și „dreapta”), această condiție este uneori formulată astfel: numărul de variabile exogene excluse din ecuația dată nu trebuie să fie mai mic decât numărul de variabile endogene incluse în ecuația minus unu. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci ecuația este neidentificabilă. Dacă este efectuată cu semnul egal, atunci este probabil identificabilă pozitiv, altfel este supraidentificabilă.

O condiție suficientă pentru identificarea unei ecuații structurale: rangul matricei compuse din coeficienți (în alte ecuații) pentru variabilele care sunt absente în această ecuație nu este mai mic decât numărul total de variabile endogene ale sistemului minus unu.

Exemple

Cel mai simplu model macroeconomic (keynesian).

${\begin{cases}C_{t}=a+bY_{t}+\varepsilon _{t}\\Y_{t}=C_{t}+I_{t}\end{cases))$

Aici C și Y sunt consumul (cheltuielile consumatorului) și venitul sunt variabile endogene ale modelului, I este investiția este o variabilă exogenă a modelului, b este înclinația marginală de a consuma

Forma dată a modelului arată astfel:

${\begin{cases}C_{t}=a/(1-b)+b/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0 }+(m-1)I_{t}+u_{t}=\pi _{11}+\pi _{12}I_{t}+u_{t}\\Y_{t}=a/(1 -b)+1/(1-b)I_{t}+\varepsilon _{t}/(1-b)=c_{0}+mI_{t}+u_{t}=\pi _{21} +\pi _{22}I_{t}+u_{t}\end{cases}}$

Valoarea se numește multiplicator de investiții (o creștere unitară a investiției duce la o schimbare semnificativ mai mare a venitului). $m=1/(1-b)$

Se poate verifica condiția de identificare ordinală. În prima ecuație din partea dreaptă, există 1 variabilă endogenă și nicio variabilă exogene (ignorând constanta). Există 1 variabile exogene în model (de asemenea, fără o constantă). Astfel, condiția ordinală (necesară) de identificare este îndeplinită.

Se poate observa că forma redusă este limitată cu două restricții și . $\pi _{11}=\pi _{21}$ $\pi _{22}-\pi _{12}=1$

Sisteme recursive de ecuații

Un caz special de sisteme de ecuații simultane sunt așa-numitele. sisteme recursive , în care matricea coeficienților pentru variabile endogene este triunghiulară (de obicei triunghiulară inferioară). Aceasta înseamnă că în prima ecuație o variabilă endogenă este exprimată doar prin cele exogene. În al doilea, al doilea endogen prin exogen și, eventual, prin primul endogen. Al treilea - prin exogene și prin primele două endogene etc. Se spune că un astfel de model este pur recursiv dacă, în plus, erorile aleatoare ale diferitelor ecuații sunt necorelate.

Metode de estimare a sistemelor de ecuații simultane

Aplicarea directă a metodei celor mai mici pătrate obișnuite pentru estimarea ecuațiilor unui sistem (în formă structurală) este inadecvată, deoarece în sistemele de ecuații simultane este încălcată condiția cea mai importantă a analizei de regresie, exogeneitatea factorilor. Acest lucru duce la părtinirea și inconsecvența estimărilor parametrilor .

Cele mai mici pătrate indirecte

Metoda celor mai mici pătrate obișnuite poate fi aplicată formei reduse a sistemului, deoarece în această formă se presupune că toți factorii sunt exogeni. Esența metodei indirecte a celor mai mici pătrate ( KMNK , ILS ) este de a estima coeficienții structurali prin substituirea în expresia analitică a dependenței acestora de estimările date ale acestora din urmă, obținute prin metoda uzuală a celor mai mici pătrate. Estimările obținute vor fi consistente.

Utilizarea metodei indirecte a celor mai mici pătrate este posibilă numai dacă sistemul este precis identificabil. Cu toate acestea, adesea ecuațiile sistemului sunt supraidentificate. În acest caz, există mai multe estimări echivalente asimptotic, dar diferite ale parametrilor formei structurale, iar în cazul general nu există un criteriu de alegere între ei.

Cele mai mici pătrate în doi pași

Esența metodei celor mai mici pătrate în două etape ( DMLS , TSLS , 2SLS ) este următoarea:

Pasul 1. Dependența variabilelor endogene de toate variabilele exogene este estimată folosind metoda uzuală a celor mai mici pătrate (de fapt, se estimează forma redusă nemărginită ).

Pasul 2. Forma structurală a modelului este estimată folosind metoda celor mai mici pătrate obișnuite, unde în locul variabilelor endogene se folosesc estimările acestora obținute la prima etapă.

Cu identificabilitatea exactă a sistemului, estimările LSLS coincid cu estimările LSLS.

Se poate demonstra că estimările LSSM ale parametrilor fiecărei ecuații sunt de fapt egale:

${\hat {\beta }}_{TSLS}=(Z^{T}WZ)^{-1}Z^{T}WY~,~~W=X(X^{T}X) ^{-1}X^{T}$

unde Z este matricea tuturor variabilelor din partea dreaptă a acestei ecuații, X este matricea tuturor variabilelor exogene ale sistemului.

OLS în trei pași

În metoda celor mai mici pătrate în două etape, de fapt, fiecare ecuație a formei structurale este evaluată independent de alte ecuații, adică posibila relație a erorilor aleatoare ale ecuațiilor formei structurale între ele nu este luată în considerare. În metoda celor mai mici pătrate în trei pași ( TMLS , 3SLS ), primii doi pași sunt la fel ca LSLS și se adaugă:

Pasul 3. Pe baza estimărilor LMNC ale reziduurilor ecuațiilor structurale se obține o estimare a matricei de covarianță a vectorului erorilor aleatoare ale sistemului și cu ajutorul acesteia se obține o nouă estimare a coeficienților folosind cele mai mici pătrate generalizate . metoda .

Dacă există corelații între ecuații, estimările LSLS ar trebui, teoretic, să fie mai bune decât estimările LSLS.

Metode de maximă probabilitate

Metoda de maximă probabilitate a informațiilor complete ( FIML ) este o metodă care utilizează toate informațiile despre constrângerile asupra formei reduse a modelului.

„ Metoda de probabilitate maximă cu informații limitate ( LIML , Metoda raportului de dispersie minimă ) este concepută pentru a estima o singură ecuație a unui sistem. Ecuațiile rămase sunt evaluate numai în măsura necesară pentru a evalua ecuația dată. Primul este evaluat într-o formă structurală, restul într-o formă redusă nelimitat, adică nu toate informațiile disponibile sunt utilizate în evaluare. Această metodă se reduce la găsirea valorii proprii minime a unei anumite matrice simetrice.

Testarea sistemelor de ecuații simultane

Test pentru supraidentificarea constrângerilor

Pentru a testa constrângerile de supraidentificare, se poate folosi un test al raportului de probabilitate cu o statistică care are o distribuție cu numărul de grade de libertate egal cu numărul de constrângeri. Funcțiile de probabilitate logaritmică concentrată ale sistemului până la o constantă au forma: $LR=2(l_{c}^{L}-l_{c}^{S})$ $\chi ^{2}$

$l_{c}=-{\frac {n}{2}}\ln |(YX\Pi )^{T}(YX\Pi )|$

unde pentru un model lung nu este limitat, ci pentru unul scurt . $\Pi$ $\Pi =BA^{-1}$

Note

Vezi și

Literatură

Ayvazyan S.A. Statistici aplicate. Fundamentele econometriei. Volumul 2. - M . : Unitate-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Kremer N.Sh., Putko B.A. Econometrie. - M . : Unitate-Dana, 2003-2004. — 311 p. — ISBN 8-86225-458-7 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometrie. Manual / Ed. Eliseeva I.I. - Ed. a II-a. - M. : Finanțe și statistică, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

Însuși termenul „sistem de ecuații simultane” este incorect. Și ce, există ecuații de timp diferit? Faptul că această hârtie de calc analfabetă din limba engleză s-a răspândit prin literatura rusă (și chiar manualele de econometrie) nu poate servi drept scuză. Este suficient să te uiți în orice dicționar matematic englez-rus pentru a vedea că „ecuații simulate” este tradus ca „sistem de ecuații”. Sensul adjectivului „simutaneous” în termenul englezesc este că aceste ecuații trebuie rezolvate simultan, și nu separat (și deloc că aceste ecuații sunt „simultaneous”).