Ecuația de întoarcere

Ecuația de returnare este o ecuație algebrică într-o variabilă a formei

\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0 \Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\dots

\dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\dots

\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}= 0

pentru un grad ciudat și $2n+1$

\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0} x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\dots

\dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+ \lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\dots

\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0

pentru un grad egal , unde . Un polinom reciproc este un polinom care este egal cu zero în ecuația reciprocă [1] . $2n$ $a_{0}\neq 0$

Mod alternativ de definire

Un polinom de grad impar se numește recurent dacă pentru o anumită egalitate este adevărată pentru orice . Un polinom de grad par se numește recurent dacă pentru o anumită egalitate este adevărată pentru orice . $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n+1$ $\lambda \neq 0$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(nk)+1}$ $k$
$\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ $a_{2n}x^{2n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0)$ $2n$ $\lambda \neq 0$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(nk))$ $k$

Cazuri speciale

Dacă , adică succesiunea de coeficienți ai polinomului recurent este simetrică (este un palindrom ), ecuația se numește simetrică sau simetrică . Dacă vorbim despre un polinom implicat în ecuație, acesta se numește simetric (a nu se confunda cu un polinom simetric ) [1] . $\lambda=1$

Scăderea gradului și găsirea rădăcinilor

Orice polinom recurent de grad impar are o rădăcină și este reprezentat ca produs al unui polinom liniar și al unui polinom care are un grad par și este recurent. $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $2n+1$ $-\lambda$ $(x+\lambda )$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ $2n$

Dovada

Să demonstrăm că polinomul este recurent. Poate fi rescris sub forma , iar acum aceiași sunt implicați în însumare . Apoi coeficienții pentru și sunt împărțiți în perechi și cu egale între ele . Raportul numerelor oricărei astfel de perechi este egal , prin urmare, raportul dintre coeficienții totali la și este egal cu același număr , ceea ce înseamnă că, conform definiției alternative de mai sus, polinomul nostru este recurent, iar numărul, al cărui rol în polinomul original de grad impar jucat , joacă aici . ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{tk}x ^{t}\lambda ^{2n-kt}){\Big )))$ $t$ ${2n-t)$ $k$ $x^{t)$ $x^{2n-t)$ $a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)$ $a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t))$ $k$ ${\frac {a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)} {a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^ {2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(tk)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-kt)-(2n-k-( 2n-t))}=$ $(-1)^{2(tn)}\lambda ^{2(nt)}=$ $\lambda ^{2(nt))$ $x^{t)$ $x^{2n-t)$ $\lambda ^{2(nt))$ $\lambda$ $\lambda ^{2}$

Să considerăm acum un polinom recursiv de grad par . Prin definiția unui polinom recursiv , prin urmare, zero nu este rădăcina lui și poate fi rescris ca , unde suma poate fi rescrisă ca polinom în raport cu gradul de . $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $2n$ $a_{0}\lambda ^{n}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\ lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t={\Big (}x+{\frac {\lambda {x}}{\Big ))$ $n$

Dovada

Să demonstrăm prin inducție completă că orice sumă simetrică față de înlocuire poate fi rescrisă ca polinom față de . Baza: . Tranziție: să presupunem că această afirmație este adevărată pentru toate puterile mai mici decât cea dată . Expresia este simetrică față de înlocuirea , iar diferența sa c are gradul maxim al variabilei și este, de asemenea, simetrică față de înlocuirea indicată și, prin urmare, prin ipoteza inducției, poate fi reprezentată ca polinom cu respectarea la gradul . Atunci expresia este diferența dintre expresiile și , fiecare dintre acestea fiind reprezentată ca un polinom în raport cu un grad nu mai mare decât , prin urmare, expresia în sine este reprezentată și ca un astfel de polinom. Apoi , unde prima parte este reprezentată ca un polinom în raport cu gradul cel mult , așa cum sa dovedit mai sus, iar a doua parte este reprezentată ca un polinom în raport cu gradul cel mult . $n$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda {x}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t={\Big (}x+{\frac {\lambda {x}}{\Big ))$ $\sum _{k=0}^{1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\Big (}a_{1}{\Big (}x^{0}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{0}{\ Mare )}+{\Big (}a_{0}{\Big (}x^{1}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{1}{ \Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$ $n$ $t^{n}={\Big (}x+{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda {x}}$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}$ $n-1$ $t$ $n-1$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}$ ${\Big (}x+{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}$ ${\displaystyle {\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}-{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac { \lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )))$ $t$ $n$ $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}) }{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\displaystyle a_{0}{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda {x}}{\Big )}^{n}{\Big )}+\ suma _{k=0}^{n-1}{\Big (}a_{nk}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{) \Big )}^{k}{\Big )}{\Big )))$ $t$ $n$ $t$ $n$

După ce am găsit toate rădăcinile ecuației rezultate și rezolvând toate ecuațiile de forma în raport cu , obținem rădăcinile ecuației reciproce originale . $t_{i}$ $t_{i}=x+{\frac {\lambda {x}}$ $X$ $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$

Rezolvabilitatea la radicali

După cum se arată mai sus, ecuațiile reciproce de grade și sunt reduse la rezolvarea ecuațiilor de grad , care sunt rezolvabile în radicali până la teorema Abel-Ruffini . Mai mult decât atât, expresia care vă permite să obțineți rădăcinile ecuației reciproce (cu excepția unui grad impar) prin rădăcinile ecuației de grad obținute mai sus față de este algebrică . Prin urmare, ecuațiile reciproce care se reduc la ecuații cu gradul cel mult , sunt rezolvabile în radicali, iar astfel de ecuații reciproce le includ pe cele al căror grad nu depășește . $2n$ $2n+1$ $n$ $n=4$ ${\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda )){\Big )}/2$ $(-\lambda )$ $n$ $t$ $t$ $patru$ $9$

Note

↑ 1 2 S.N. Olechnik, M.K. Potapov, P.I. Pașicenko. "Algebra și începuturile analizei. Ecuații și inegalități"

Link -uri

Teorema fundamentală pentru polinoamele palindromice (engleză) pe MathPages .