Polinom simetric

Un polinom simetric este un polinom în variabile care nu se modifică cu toate permutările variabilelor sale constitutive . Deci, pentru un polinom de două variabile, aceasta înseamnă ; exemple de polinoame simetrice cu două variabile sunt , și . $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $n$ $x_{i}$ $f(x,y)$ $f(x,y)=f(y,x)$ $x+y$ $X y$ $x^{2}+y^{2}$

Tipuri de bază

Adesea sunt folosite mai multe secvențe de polinoame ( polinomul --lea este în variabile), astfel încât cele anterioare sunt obținute din următoarele prin înlocuirea zerourilor în variabile suplimentare: $f_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $n$ $n$

f_{n}(x_{1},\ldots,x_{n-1},0)=f_{n-1}(x_{1},\ldots,x_{n-1})

Prin urmare, astfel de polinoame sunt notate fără a specifica numărul de variabile: sau , unde nu este un index în interiorul unei secvențe, ci o modalitate de numerotare a unor astfel de secvențe. De exemplu, sumele de putere ale unui grad sunt polinoame $f(x_{1},\ldots,x_{n})$ $f_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})$ $k$ $p_{k}$ $k$

p_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k }+\ldots +x_{n}^{k}

Uneori este convenabil să specificați aceste secvențe de polinoame simetrice folosind funcții generatoare : pentru o secvență de polinoame simetrice , o astfel de funcție generatoare este o serie de puteri $f_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})$

F(t;x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{k}f_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})t^{k}

din variabile. De exemplu, polinoamele de grade simetrice elementare (sau de bază) sunt sume ale tuturor monomiilor de grade posibile fără variabile repetate; sunt date prin formula $(n+1)$ $\sigma _{k)$ $k$ $k$

\sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_ {1}}\cdot \ldots \cdot x_{j_{k}}

sau funcția generatoare

\Sigma (t;x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k}(x_{1},\ldots, x_{n})t^{k}=(1+tx_{1})\cdot \ldots \cdot (1+tx_{n})

În special,

{\begin{array}{rcl}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\ cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{ x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1} ,x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2 }}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n} (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}

Polinomul se presupune egal cu , iar polinoamele la sunt egale cu . $\sigma _{0}$ $unu$ $\sigma _{k)$ $k>n$ $0$

Un alt exemplu, polinoamele simetrice complete de grad sunt sumele tuturor monomiilor de grad , fără restricții privind repetarea variabilelor; sunt date prin formula $h_{k)$ $k$ $k$

h_{k}(x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{i_{1}+\ldots +i_{n}=k}x_{1}^{i_{1 }}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{i_{n}}

sau funcția generatoare

H(t;x_{1},\ldots,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots,x_{n })t^{k}=(1-tx_{1})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-tx_{n})^{-1}

Importante pentru teoria reprezentărilor grupurilor simetrice sunt polinoamele Schur - polinoamele simetrice parametrizate prin partiții într-o sumă de numere naturale nenegative. Polinomul Schur de grad corespunzător partiției este [1] $d$ $d=d_1+\dots+d_n, \quad d_1\ge \dots\ge d_n\ge 0,$

s_{(d_{1},\dots,d_{n})}(x_{1},\dots,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{ j}+nj})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}

Un alt exemplu este polinomul discriminant

D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2)

unde sunt rădăcinile unui polinom într-o variabilă: . $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ $f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n)$

Teorema fundamentală a teoriei polinoamelor simetrice

Teorema fundamentală a teoriei polinoamelor simetrice afirmă că orice polinom simetric poate fi exprimat într-un mod unic ca polinom în polinoame simetrice elementare. Cu alte cuvinte, pentru orice polinom simetricexistă un polinom (de obicei nesimetric)astfel încât $f(x_{1},\ldots,x_{n})$ $g(y_{1},\ldots,y_{n})$

f(x_{1},\ldots,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),\ldots,\sigma _{n }(x_{1},\ldots,x_{n}))

adică sunt polinoame egale în , iar un astfel de polinom este unic. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $g(y_{1},\ldots,y_{n})$

Cu alte cuvinte, polinoamele simetrice elementare sunt independente din punct de vedere algebric și formează o bază pentru algebra funcțiilor simetrice : inelul funcțiilor simetrice este izomorf cu inelul $k[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{S)$ $k[\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots,\sigma _{n}]$

O teoremă similară este valabilă și pentru polinoamele simetrice complete.

Formule determinante

Formulele generatoare de polinoame simetrice elementare și complete sunt legate prin relații , care se extind în formule $\Sigma (t)\cdot H(-t)=1$

\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}\sigma _{r}h_{nr}=0\quad (n>1)

care exprimă polinoamele simetrice elementare în raport cu cele elementare anterioare şi în raport cu toate cele complete. Formula finală arată ca [2]

\sigma _{k}={\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\ldots &0\\h_{2}&h_{1}&1&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ ldots &\ldots \\h_{k-1}&h_{k-2}&h_{k-3}&\ldots &1\\h_{k}&h_{k-1}&h_{k-2}&\ldots &h_ {1}\end{vmatrix}}

;

o formulă similară de exprimare a totalului în termeni de simetrice se obţine prin substituţie şi fără alte modificări. $\sigma$ $h$

Vezi și

Note

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, „ Schifted Schur functions ”, Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146
↑ Prasolov, 2003 , p. 93.

Link -uri

V. G. Boltyansky , N. Ya. Vilenkin . Simetria în algebră . - M. : MTSNMO, 2002. - 240 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 5-94057-041-0 .
V. V. Prasolov . Polinoame . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 91-99. — 335 p. — ISBN 5-94057-077-0 .
Z. B. Reichstein. Identitățile lui Newton și inducția matematică // Educație matematică . - 2000. - Emisiune. 4 . — S. 204–205 .