Un set foarte limitat

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 20 decembrie 2020; verificarea necesită 1 editare .

Se spune că o mulțime este complet mărginită dacă, pentru orice ε pozitiv, există o rețea ε finită pentru acea mulțime.

Note

Conceptele de mărginire completă și mărginire coincid în cazul spațiilor euclidiene cu dimensiuni finite . Într-adevăr, este suficient să luăm un cub minim care conține o mulțime mărginită dată cu latura . Apoi se rupe în cuburi cu laturi . Vârfurile cuburilor dau o ε-net finită, ε dorit se realizează prin creșterea . $\mathbb {R^{n}}$ $A$ $k^{n}$ $a/k$ $k$
Dacă sunt introduse noi metrici pe un spațiu finit-dimensional, atunci mulțimile mărginite pot înceta să fie complet mărginite. Un astfel de rezultat, de exemplu, este dat de o metrică sau o metrică discretă . $\mathbb {R^{n}}$ $d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )$
Într-un spațiu cu dimensiuni infinite, nici limitarea nu este complet identică cu limitarea. În bilă unitară, este necesar un număr infinit de bile cu raza ε<1 pentru a acoperi puncte de forma , . $l^2$ $e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)$ $i\in \mathbb {N}$
Într -un spațiu metric complet, delimitarea completă implică precompactitudine . Această proprietate este cerută în demonstrarea teoremei Arzela-Ascoli .
Uneori termenul „complet limitat” ( ing. totally bounded ) este confundat cu termenul „completly limitat” ( ing. complet bounded ). Acesta din urmă este legat de operatorii liniari din analiza funcțională cuantică.

Literatură

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elemente de teoria funcțiilor și analiză funcțională. - ed. al patrulea, revizuit. — M .: Nauka , 1976 . — 106 p.