Spațiu metric complet

Un spațiu metric complet este un spațiu metric în care fiecare secvență fundamentală converge (la un element din același spațiu) [1] .

În cele mai multe cazuri, spațiile metrice complete sunt luate în considerare. Pentru spațiile incomplete, există o operație de completare , care face posibilă considerarea spațiului original ca un set dens în completarea sa. Operația de reaprovizionare este în multe privințe similară cu operațiunea de închidere pentru subseturi.

Aprovizionare

Orice spațiu metric poate fi încorporat într-un spațiu complet în așa fel încât metrica extinde metrica și subspațiul este peste tot dens în . Un astfel de spațiu se numește completare și este de obicei notat cu . $X=(X,\rho)$ $Y$ $Y$ $X$ $X$ $Y$ $Y$ $X$ $\bara X$

Clădire

Pentru un spatiu metric , pe multimea sirurilor fundamentale din se poate introduce o relatie de echivalenta $X=(X,\rho)$ $X$

(x_n)\sim(y_n)\Leftrightarrow \lim\rho(x_{n}, y_n)=0.

Setul de clase de echivalență cu metrica definită $\bara X$

\bar \rho((x_n),(y_n))= \lim\rho(x_{n}, y_n),

este un spațiu metric. Spațiul însuși este încorporat izometric în el în felul următor: un punct corespunde clasei unei secvențe constante . Spațiul rezultat va fi completarea . $(X,\rho)$ $x\în X$ $x_n=x$ $(\bara X,\bara \rho)$ $X$

Proprietăți

Completarea unui spațiu metric este unică , până la izometrie .
Completarea unui spațiu metric este izometrică față de închiderea imaginii sub încorporarea Kuratowski $M$
Completitudinea este moștenită de submulțimi închise ale unui spațiu metric complet.
Spațiile metrice complete sunt spații din a doua categorie Baire . Adică, dacă spațiul total este epuizat de o uniune numărabilă de mulțimi închise, atunci cel puțin una dintre ele are puncte interioare.
Un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este complet și complet mărginit ; adică pentru orice spațiu poate fi acoperit de un număr finit de bile de rază . $X$ $\varepsilon >0$ $X$ $\varepsilon$
Teorema punctului fix al lui Banach . Mapările de contracție ale unui spațiu metric complet în sine au un punct fix.
Completitudinea unui spațiu metric nu este o proprietate topologică. Adică, un spațiu de metrică complet poate să nu fie complet atunci când metrica este înlocuită cu una echivalentă, adică o metrică care generează aceeași topologie ca și metrica originală.
- O proprietate topologică este prezența a cel puțin unei metrici complete în clasa de metrici care generează topologia unui spațiu metric (așa-numita completitudine topologică a metricii sau metrizabilitatea de către o metrică completă).

Exemple

Completați spațiile metrice

Setul de numere reale (reale) este complet în metrica standard . $\mathbb {R}$ $d(x, y) = |x - y|$
În general, orice spațiu euclidian sau unitar de dimensiuni finite este complet [1] .
Proprietatea de completitudine este obligatorie în definirea unui spațiu Banach , în special a unui spațiu Hilbert .
Spațiul funcțiilor continuu pe un interval cu o metrică uniformă este un spațiu metric complet și, prin urmare, este un spațiu Banach dacă îl considerăm ca un spațiu liniar normat.

Spații metrice incomplete

Numerele raționale cu distanța standard sunt un spațiu metric incomplet. Rezultatul completării acestui spațiu va fi mulțimea tuturor numerelor reale . $\mathbb {Q}$ $d(x,y)=|xy|$ $\mathbb {R}$
De asemenea, numerele raționale pot fi echipate cu o evaluare p-adice , completare față de care duce la câmpul numerelor p-adice . $\mathbb Q_p$
Spațiul de integrabil (după Riemann) funcționează pe un segment din metrica integrală . Rezultatul completării acestui spațiu va fi spațiul funcțiilor integrabile Lebesgue definite pe același interval. $d(f, g) = \int_a^b |f(x)-g(x)| dx$

Variații și generalizări

Dacă are o structură algebrică compatibilă cu metrica, cum ar fi un inel topologic , atunci această structură se realizează în mod natural până la finalizarea ei. $X$

Note

↑ 1 2 Shilov, 1961 , p. 40.

Literatură

Zorich V.A. Analiza matematică. — T. 2. IX, §5.
Shilov G.E. Analiza matematică. Curs special. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.