Calculul diferențial secundar este o ramură a matematicii moderne care extinde calculul diferențial clasic pe varietăți în spațiul soluțiilor ecuațiilor diferențiale parțiale neliniare. Creditul pentru descoperirea calculului diferențial secundar îi aparține profesorului Alexander Mikhailovici Vinogradov .
În matematică, există o legătură între algebră și geometrie, adică pentru orice ecuație algebrică, puteți găsi un analog geometric. Omologul geometric pentru ecuațiile diferențiale neliniare sunt obiecte geometrice foarte complexe, uneori infinit-dimensionale, cu multe structuri ( conuri caracteristice , raze L etc.); pentru studiul lor detaliat a fost creat acest aparat matematic.
Această teorie operează cu analogi secundari ai analizei clasice (câmpuri vectoriale secundare, module secundare peste o algebră secundară netedă a funcțiilor etc.). În această teorie sunt introduși difeotopi - obiecte geometrice care joacă în ea același rol ca și varietățile algebrice din teoria ecuațiilor algebrice. Sunt varietăți de un fel special, de regulă, infinit-dimensionale, dotate cu o structură de contact de ordine infinită. Calculul diferențial secundar este un calcul diferențial pe difeotopi care ia în considerare această structură de contact. Dimensionalitatea infinită a difeotopilor face imposibilă construirea unui calcul diferențial prin metode standard. De aceea, aplicarea abordării algebrice este inevitabilă aici.
Un fapt remarcabil și neașteptat care a apărut în procesul de construire a calculului diferențial secundar este că obiectele sale sunt clasele de coomologie ale anumitor complexe diferențiale care apar în mod natural pe difeotopi.
Pe baza acestei teorii, a fost creată o teorie matematică sintetică, numită difeotopie (a nu se confunda cu izotopia anexată ). Este o sinteză a două teorii - calculul diferenţial primar, adică teoria functorilor calculului diferenţial asupra algebrelor comutative, şi calculul diferenţial secundar. Aceasta este o nouă ramură a matematicii care se dezvoltă dinamic, care este o sinteză particulară și naturală a multor discipline matematice moderne, cum ar fi teoria geometrică a ecuațiilor diferențiale parțiale neliniare, algebra comutativă și omologică, topologia algebrică, geometria algebrică și diferențială, calculul diferențial în algebre comutative și altele. Problemele reale ale difeotopiei pot fi împărțite în două clase mari. Prima include probleme legate de identificarea și studiul structurilor de bază ale calculelor primare și secundare. A doua clasă include numeroase probleme tehnice și de calcul asociate cu rezolvarea unor probleme specifice prin metode difeotopice. De exemplu, problema găsirii tuturor legilor de conservare sau transformărilor Bäcklund pentru un sistem dat de ecuații diferențiale, care este algoritmică din punct de vedere al calculului secundar, oferă un exemplu de cea mai simplă problemă a acestei clase. Calculele reale care utilizează metodele de calcul diferențial secundar se dovedesc adesea a fi atât de complexe și consumatoare de timp încât implementarea lor devine imposibilă fără suportul computerizat adecvat. Prin urmare, dezvoltarea unui software specializat adecvat pentru calcule „secundare” simbolice este o sarcină extrem de importantă.
Această teorie își găsește deja aplicații în fizica modernă, și anume: secțiunea teoriei moderne a câmpurilor cuantice asociată cu cuantizarea BRST și formalismul anti-câmp este descrisă în mod natural și conceptual transparent în limbajul calculului diferențial secundar (secțiunea de fizică asociată cu aceasta este numită fizică coomologică ).