Structura de contact

O structură de contact este o structură pe o varietate netedă de dimensiune impară , constând dintr-un câmp neted de hiperplanuri tangente care satisface condiția de non-degenerare formulată mai jos. O astfel de structură există întotdeauna pe colectorul de elemente de contact ale colectorului. Structura de contact este strâns legată de structura simplectică și este analogul acesteia pentru varietăți de dimensiuni impare. $M^{{2n+1}}$

Definiție

O structură de contact pe o varietate este definită prin specificarea unei forme 1 astfel încât $\lambda$

\lambda \wedge (d\lambda )^{n}\neq 0

$\lambda$ numit formular de contact. Structura de contact există doar pe o varietate orientabilă și definește un câmp vectorial unic astfel încât $Y$ $M^{{2n+1}}$

\lambda(Y)=1

d\lambda(Y,X)=0

pentru orice câmp vectorial . $X$

Proprietăți

Dimensiunea unei galerii de contact este întotdeauna impară.
Pe orice subvarietă de nivel a hamiltonianului dat pe spațiul de fază , apare o structură naturală de contact.

Fiecare varietate simplectică 2n-dimensională este asociată canonic cu o varietate de contact (2n+1)-dimensională, numită contactizare .
- Dimpotrivă, pentru orice varietate de contact (2n+1)-dimensională, există o simplificare a acesteia , care este o varietate (2n+2)-dimensională.

Variații și generalizări

Structura aproape de contact

Fie o varietate netedă de dimensiuni impare . $M^{{2n+1}}$ $\dim M=2n+1$

O structură aproape de contact pe o varietate este un triplu de câmpuri tensorale de pe această varietate, unde este o formă diferențială 1, numită forma de contact a structurii, este un câmp vectorial, numit caracteristică, este un endomorfism , numit endomorfism structural . în care $M$ $(\eta ,\xi ,\Phi )$ $\eta$ $\xi$ $\Phi$ $TM$

$\eta (\xi )=1$
$\eta \circ \Phi =0$
$\Phi (\xi )=0$
$\Phi ^{2}=-id+\eta \otimes \xi$

Dacă, în plus, o structură riemanniană este fixată pe , astfel încât $M$ $g=\langle \cdot ,\cdot \rangle$

$\langle \Phi X,\Phi Y\rangle =\langle X,Y\rangle -\eta (X)\eta (Y)$

cvadruplu se numește o structură metrică de aproape contact (sau mai scurtă AC-). O varietate pe care este dată o structură [metrică] de (aproape) contact se numește, respectiv, o varietate [metrică] de (aproape) contact. $(\eta ,\xi ,\Phi ,g)$

Literatură

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Arnold V. I., Givental A. B. Geometrie simplectică.