Mișcare browniană geometrică

Mișcarea browniană geometrică (GBM) (mai rar, mișcarea browniană exponențială, mișcarea browniană economică) este un proces aleator în timp continuu al cărui logaritm este o mișcare browniană ( procesul Wiener ). GBM este folosit pentru modelarea prețurilor pe piețele financiare și este utilizat în principal în modelele de prețuri opțiuni , deoarece GBM poate prelua orice valoare pozitivă. GBM este o aproximare rezonabilă a dinamicii reale a prețurilor acțiunilor, cu toate acestea, nu ia în considerare evenimente rare (outliers).

Un proces aleatoriu S t este GBM dacă satisface următoarea ecuație diferențială stocastică :

dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t)

unde este mișcarea browniană și („parametrul de deriva”) și („parametrul de volatilitate”) sunt constante. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

Pentru o valoare inițială arbitrară S 0 , acest SDE are soluția

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

ce este o variabilă aleatoare lognormal distribuită cu medie și varianță $\mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0}$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

Corectitudinea soluției poate fi stabilită folosind lema lui Itô . Variabila aleatoare log( S t / S 0 ) este distribuită în mod normal cu medie și varianță , ceea ce înseamnă că incrementele GBM sunt normale (ținând cont de preț), ceea ce dă motive să vorbim despre procesul „geometric”. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$