Ipoteza Bieberbach

Conjectura Bieberbach este o presupunere dovedită făcută în 1916 de omul de știință german L. Bieberbach cu privire la limita superioară a coeficienților de expansiune ai funcțiilor univalente dintr- o serie Taylor .

Se notează — cercul unitar deschis al planului complex: . $\Delta$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$

$S$ este mulțimea tuturor funcțiilor analitice și univalente în , având expansiune într-o serie Taylor în vecinătatea zeroului de forma: $\Delta$ $f(z)$

f(z)=z+\sum _{{n=2}}^{{\infty }}c_{n}z^{n}.

Prin ipoteză, coeficienții , și numai pentru funcțiile Koebe de forma $|c_{n}|\leqslant n$ $c_{n}=n$

k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{{i\theta }})^{2}}}.

Istoria dovezii conjecturei

1916 - a fost formulată o ipoteză. Bieberbach a dovedit validitatea conjecturii pentru . $n=2$
1923 - ipoteza pentru . Dovada de Charles Löwner $n=3$ , pentru demonstrație a fost creată metoda parametrică Löwner .
1955 - dovada pentru . Autorii — Garabedyan $n=4$ , Schiffer. Metoda folosită în demonstrație a fost numită metoda lui Schiffer.
1968, 1969 - două lucrări independente cu dovezi ale conjecturii pentru - Roger N. Pederson, Mitsuru Ozawa . $n=6$
1972 - se dovedește conjectura pentru - Pederson, Schiffer. $n=5$

1925 - Littlewood dovedește că pentru orice . $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ $n$
1951 - Bazilevici , Milin Isaak Moiseevici : relaţia este dovedită . $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+{\mathrm {const))$
1965 - Milin: . $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$
1971 - Milin: sugerează că succesiunea de funcționale logaritmice construite de el (funcționale Milin) este nepozitivă pentru orice funcție din clasa S și notează că această proprietate presupune demonstrarea conjecturii Bieberbach.
1972 - Carl FitzGerald: . $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$
1984 - dovada corectitudinii ipotezei Bieberbach, autor - Louis de Branges .

Link -uri

Conjectura lui Koepf W. Bieberbach, funcțiile de Branges și Weinstein și inegalitatea Askey-Gasper // The Ramanujan Journal, iunie 2007, volumul 13, numărul 1–3, pp 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2