Conjectura lui Scheinerman [1] , acum o teoremă dovedită, afirmă că orice graf planar este graficul de intersecție al unei mulțimi de segmente de dreaptă în plan. Această presupunere a fost formulată de Edward Scheinerman [ en în doctoratul său. Teorema a fost demonstrată de Chalopin și Gonsalvis [4] .
De exemplu, graficul G prezentat mai jos în stânga poate fi reprezentat ca graficul de intersecție al setului de segmente de linie afișat în dreapta. Aici vârfurile graficului G sunt reprezentate prin segmente, iar marginile graficului G sunt reprezentate prin punctele de intersecție ale acestor segmente.
Scheinerman a presupus, de asemenea, că este suficient să existe segmente de trei direcții pentru a reprezenta grafice tricolore, iar West [ 5] a presupus că, în mod similar, orice grafic plan poate fi reprezentat folosind segmente de patru direcții. Dacă graficul este reprezentat de segmente cu numai k direcții și nu există două segmente pe aceeași linie, graficul poate fi colorat folosind k culori, o culoare pentru fiecare direcție. Prin urmare, dacă orice grafic plan poate fi reprezentat în acest fel cu doar patru direcții de segment de linie, va urma teorema celor patru culori .
Hartman, Newman și Ziv [6] , precum și De Freysix, Ossona de Mendez și Pach [7] , au demonstrat că orice graf planar bipartit poate fi reprezentat ca un grafic al intersecțiilor segmentelor orizontale și verticale. Vezi lucrarea lui Cizovic, Kranakis și Urrutiy [8] despre aceasta . De Castro, Cobos, Dana și Marques [9] au demonstrat că orice graf planar fără triunghi poate fi reprezentat ca un grafic de intersecție a segmentelor de linii cu doar trei direcții. Rezultatul lor implică teorema lui Grötsch [10] că graficele plane fără triunghi pot fi tricolore. De Freycix și Ossona de Mendez [11] au demonstrat că dacă un graf planar G poate fi colorat cu 4 culori astfel încât niciun ciclu de separare să folosească toate cele patru culori, atunci G are o reprezentare ca un graf de intersecție a segmentelor.
Chalopin, Gonsalves și Ochem [12] au demonstrat că graficele plane sunt în clasa 1-ȘIRURI, clasa de grafice de intersecție a curbelor simple în plan care se intersectează cel mult o dată pe pereche de curbe. Această clasă este clasa de mijloc dintre graficele de intersecție ale segmentelor care apar în conjectura Scheinerman și graficele de intersecție ale curbelor simple neconstrânse din rezultatele lui Erlich (și coautorilor săi). Conjectura poate fi văzută ca o generalizare a teoremei de ambalare a cercului , care dă același rezultat atunci când curbele se pot atinge doar între ele. Dovada conjecturii date de Chalopin și Gonsalves [4] s-a bazat pe o îmbunătățire a acestui rezultat.