Valoarea principală a integralei Cauchy

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 mai 2021; verificările necesită 2 modificări .

Valoarea principală a integralei Cauchy este o generalizare a conceptului de integrală Riemann , care vă permite să calculați unele integrale improprie divergente . Ideea valorii principale a integralei Cauchy este că atunci când intervalele de integrare se apropie de punctul singular din ambele părți „cu aceeași viteză”, singularitățile se nivelează reciproc (datorită semnelor diferite din stânga și dreapta) și ca rezultat, puteți obține o limită finită, care se numește valoarea principală a integralei Cauchy. Acest concept are aplicații importante în analiza complexă ( teorema Sochocki-Plemelja ) [1] .

Deci, de exemplu, o integrală este o integrală improprie de al doilea fel , nu există, dar există în sensul valorii principale a integralei Cauchy. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Definiția valorii principale a integralei Cauchy

Definiție (pentru punctul singular „∞”)

Definiție (pentru punctul singular „∞”). Fie definită f (x) pe intervalul (-∞, + ∞) și f ∈ R ([- A, A]) pentru toate A > 0, dar integrala improprie de primul fel diverge. Dacă există o limită finită $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

atunci această limită se numește valoarea principală a integralei Cauchy (sau valoarea principală în sensul lui Cauchy) pentru funcția f din domeniul (-∞, + ∞) și se notează cu simbolul

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

În acest caz, se spune că funcția f (x) este integrabilă pe intervalul (-∞, + ∞) în sensul lui Cauchy (sau integrabilă în domeniul (-∞, + ∞) în sensul lui Cauchy).

Exemplu. Luați în considerare integrala improprie Această integrală diverge deoarece, de exemplu, integrala va fi divergentă, dar există o valoare principală a acestei integrale în sensul lui Cauchy: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Teorema

Dacă f (x) este impar pe (-∞, + ∞) și f ∈ R ([- A, A]) pentru toate A > 0, atunci f este integrabil Cauchy pe (-∞, + ∞).
Dacă f (x) este par pe (-∞, + ∞) și f ∈ R ([- A, A]) pentru toate A > 0, atunci convergența integralei este echivalentă cu convergența integralei $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Definiție (pentru un punct singular finit)

Definiție (pentru un punct singular finit). Fie funcția f : [a, b] → R să îndeplinească condițiile:

există δ > 0 astfel încât f ∈ R ([a, c - ε]) și f ∈ R ([c + ε, b]) pentru toate ε ∈ (0, δ)
divergent este o integrală improprie de al doilea fel $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Dacă există o limită finită

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon}f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon}^{b}f (x)\,dx\dreapta),

atunci această limită se numește valoarea principală a integralei Cauchy (sau valoarea principală în sensul lui Cauchy) pentru funcția f pe intervalul [a, b] și se notează cu simbolul

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Mai mult, se spune că funcția f (x) este Cauchy integrabilă pe [a , b ] (sau integrabilă pe segmentul [a, b] în sensul lui Cauchy).

Exemplu. Luați în considerare o integrală improprie de al doilea fel (vezi figura) Ea diverge, deoarece, de exemplu, integrala diverge. În acest caz, în înțelegerea valorii principale conform lui Cauchy, această integrală există și este egală cu zero: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aliniat}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aliniat}}

Cazul mai multor puncte singulare pe intervalul de integrare

Exemplu. Luați în considerare o integrală improprie (vezi figura). Punctele singulare ale integrandului f (x) = 2 x / (x²-1) sunt punctele -1, 1 și ∞. Această integrală diverge, prin urmare diverge, de exemplu, integrala $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aliniat}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned))

Evident, f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) pentru toate ε ∈ (0 , 1) (deoarece este mărginit pe fiecare dintre aceste segmente). Să verificăm integrabilitatea funcției f în sensul lui Cauchy:

{\begin{aliniat}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{aliniat}}

Prin urmare, funcția f este integrabilă Cauchy pe intervalul (-∞, + ∞).

Note

↑ Pavlov V.P. Valoarea principală a integralei // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Aharonov - Efectul Bohm - Rânduri lungi. — 707 p. — 100.000 de exemplare.

Surse

Dorogovtsev A. Ya. Analiză matematică . - Kiev, Școala Superioară, 1985.