Limită (matematică)

Limita este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice , se bazează pe astfel de secțiuni fundamentale ale analizei precum continuitatea , derivata , integrala , seria infinită etc. Există o limită a unei secvențe și o limită a unei funcții [1] .

Conceptul de limită a fost folosit la nivel intuitiv încă din a doua jumătate a secolului al XVII-lea de Newton , precum și de matematicienii secolului al XVIII-lea, precum Euler și Lagrange . Primele definiții riguroase ale limitei unei secvențe au fost date de Bolzano în 1816 și de Cauchy în 1821.

Istorie

Motivația termenului

Operația de luare a limitei în analiza matematică se numește trecerea la limită [2] . Conceptul intuitiv al trecerii la limită a fost folosit de oamenii de știință din Grecia antică atunci când calculau suprafețele și volumele diferitelor forme geometrice. Metodele de rezolvare a unor astfel de probleme au fost dezvoltate în principal de Arhimede .

Atunci când au creat calculul diferențial și integral, matematicienii secolului al XVII-lea (și, mai ales, Newton ) au folosit, de asemenea, explicit sau implicit conceptul de trecere la limită. Pentru prima dată, definiția conceptului de limită a fost introdusă în lucrarea lui Wallis „Aritmetica valorilor infinite” (secolul al XVII-lea), dar din punct de vedere istoric acest concept nu a stat la baza calculului diferențial și integral.

Abia în secolul al XIX-lea, în lucrările lui Cauchy , a fost folosită teoria limitelor pentru o justificare riguroasă a analizei matematice. Dezvoltarea ulterioară a teoriei limitelor a fost realizată de Weierstrass și Bolzano .

Cu ajutorul teoriei limitelor în prima jumătate a secolului al XIX-lea, în special, a fost fundamentată utilizarea serii infinite în analiză, care constituiau un aparat convenabil pentru construirea de noi funcții [3] .

Simbol limită

Simbolul limită general acceptat a fost propus de Simon Lhuillier (1787) în următorul format: această notație a fost susținută de Cauchy (1821). Punctul după lim a dispărut curând [4] . Weierstrass a introdus notarea limitei apropiată de cea modernă , deși în locul săgeții cu care suntem obișnuiți a folosit semnul egal: [5] . Săgeata a apărut la începutul secolului al XX-lea cu mai mulți matematicieni deodată [6] . $\lim _{x\to a}f(x)$ $\operatorname {lim.} x:a;$ $\operatorname {Lim} _{x=a}$

Dirichlet (1837) a fost primul care a propus notația pentru limita unilaterală a speciei sub forma: Moritz Pasch (1887) a introdus alte concepte importante - limitele superioare și inferioare , pe care le-a scris sub forma: și respectiv. În străinătate, acest simbolism a devenit standard, iar alte denumiri prevalează în literatura internă: introdusă de Alfred Pringsheim în 1898 [7] . $\lim _{x\to a+0}f(x)$ $f(a+0),f(a-0).$ $\lim \sup$ $\lim \inf$ $\varlimsup _{n\to \infty }x_{n},\ \varliminf _{n\to \infty }x_{n},$

Limita secvenței

Limita unei secvențe este un obiect la care membrii secvenței tind sau se apropie într-un anumit sens cu un număr ordinal crescător.

Un număr se numește limita unei secvențe dacă $A$ $x_{1},x_{2},...,x_{n},...$

$\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{, }}\exists {\text{ }}N(\varepsilon ){\text{, }}\forall {\text{ }} n>N(\varepsilon ){\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a|<\varepsilon$ .

Limita secvenței este notată cu . Notarea este permisă . $\lim _{n\la +\infty }x_{n)$ $\lim x_{n)$

Proprietăți:

Dacă există limita unei secvențe, atunci aceasta este unică.
$\lim c=c$ $,\,c={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}+y_{n})=\lim x_{n}+\lim y_{n}$ (dacă există ambele limite)
$\lim(qx_{n})=q\lim x_{n}$ $,\,q={\rm {const}}.$
$\lim(x_{n}y_{n})=\lim x_{n}\lim y_{n}$ (dacă există ambele limite)
$\lim(x_{n}/y_{n})=\lim x_{n}/\lim y_{n}$ (dacă există ambele limite și numitorul părții drepte nu este zero)
Dacă și , atunci (teorema „secvenței blocate”, cunoscută și sub numele de „ teorema doi polițiști ”) $a_{n}>x_{n}>b_{n}\forall n$ $\lim a_{n}=\lim b_{n}$ $\lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}$

Limita funcției

O funcție are o limită într-un punct dacă, pentru toate valorile suficient de apropiate de , valoarea este apropiată de . $f(x)$ $A$ $x_{0}$ $X$ $x_{0}$ $f(x)$ $A$

Numărul b se numește limita funcției în punctul , dacă există astfel încât . $f(x)$ $A$ $\forall \varepsilon >0$ $\delta>0$ $\forall x,0<|xa|<\delta$ $|f(x)-b|<\varepsilon$

Limitele funcțiilor au proprietăți similare cu limitele secvențelor, de exemplu, limita sumei este egală cu suma limitelor dacă există toate limitele. $\lim _{{x\to x_{0}}}(f(x)+g(x))=\lim _{{x\to x_{0}}}f(x)+\lim _{{ x\la x_{0}}}g(x)$

Noțiunea de limită a unei secvențe în limbajul cartierelor

Fie un set pe care este definit conceptul de vecinătate (de exemplu, un spațiu metric ). Fie o succesiune de puncte (elemente) din această mulțime. Spunem că există o limită pentru această secvență dacă aproape toți membrii secvenței se află în orice vecinătate a punctului sau $X$ $U$ $x_{i}\în X$ $x\în X$ $X$ $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists {\text{ }}n,{\text{ }}\forall {\text{ }}i>n{\ text{ }}{\text{ }}x_{i}\in U(x)$

Limite remarcabile

Limitele remarcabile sunt termeni folosiți în manualele de calcul sovietice și rusești pentru a se referi la două identități matematice binecunoscute cu luarea unei limite:

Prima limită remarcabilă: $\lim _{{x\to 0}}{\frac {\sin x}{x}}=1.$
A doua limită remarcabilă: $\lim _{{x\to \infty }}\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e.$

Limitele remarcabile și consecințele lor sunt folosite în dezvăluirea incertitudinilor pentru a găsi alte limite.

Ultralimit

O ultralimită este o construcție care vă permite să definiți o limită pentru o clasă largă de obiecte matematice. În special, funcționează pentru secvențe de numere și secvențe de puncte dintr-un spațiu metric și permite generalizări la secvențe de spații metrice și secvențe de funcții pe acestea. Această construcție este adesea folosită pentru a evita săritul la o secvență de mai multe ori. Această construcție folosește existența unui ultrafiltru non-principal , a cărui demonstrație folosește la rândul său axioma alegerii .

Vezi și

Note

↑ Enciclopedia Matematică, 1984 , p. 556.
↑ Khinchin A. Ya. Opt prelegeri despre analiza matematică. - M. - L., Gostekhizdat, 1948. - S. 14
↑ Tsypkin A. G. Manual de matematică. - M .: „Nauka”, 1983.
↑ Hairer E., Wanner G. Analiza matematică în lumina istoriei sale. - M . : Lumea științifică, 2008. - 396 p. - ISBN 978-5-89176-485-9 . - S. 172.
↑ Yushkevich A.P. Dezvoltarea conceptului de limită înainte de K. Weierstrass // Cercetări istorice și matematice . - M . : Nauka , 1986. - Nr. 30 . - S. 76 .
↑ Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință . - Ed. a 3-a. - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 133 -135. — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
↑ Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (retipărire 1929), §631-637. - NY: Cosimo, Inc., 2007. - xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7 .

Literatură

Limită // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M . : Enciclopedia Sovietică , 1984. - T. 4.

Dicționare și enciclopedii	mare danez mare danez Mare norvegian Rusă mare croat Britannica (online) Treccani Universalis Universalis
În cataloagele bibliografice	NDL : 00567231