Grupul Ree

Grupurile Ree  sunt grupuri de tip Lie pe un câmp finit pe care Ree [1] [2] l-a construit din automorfisme excepționale ale diagramelor Dynkin care inversează direcția mai multor muchii, ceea ce generalizează grupurile Suzuki care Suzuki le-a găsit folosind o metodă diferită. Grupurile au fost ultimele descoperite în familii infinite de grupuri simple finite .

Spre deosebire de grupurile Steinberg , grupurile Ree nu sunt date de punctele unui grup algebric reductiv definit pe un câmp finit. Cu alte cuvinte, nu există un „grup Ree algebric” legat de grupurile Ree în același mod în care (să zicem) grupurile unitare sunt legate de grupurile Steinberg. Cu toate acestea, există câteva grupuri algebrice pseudoreductoare exotice peste câmpuri imperfecte a căror construcție este legată de construcția grupurilor Ree, deoarece folosesc aceleași automorfisme exotice ale diagramei Dynkin care modifică lungimile rădăcinilor.

Tits [3] au definit grupurile Ree pe câmpuri infinite ale caracteristicilor 2 și 3. Tits [4] și Hee [5] au introdus grupurile Ree ale algebrelor Kac-Moody generalizate cu dimensiuni infinite .

Clădire

Dacă X este o diagramă Dynkin, Chevalley a construit grupuri algebrice divizabile corespunzătoare lui X , în special dând grupuri X ( F ) cu valori în câmpul F. Aceste grupuri au următoarele automorfisme:

Grupurile Steinberg și Chevalley pot fi construite ca puncte fixe ale endomorfismului X ( F ) pentru închiderea algebrică a câmpului F. Pentru grupurile Chevalley, automorfismul este endomorfismul Frobenius al lui F , în timp ce pentru grupurile Steinberg, automorfismul este endomorfismul Frobenius înmulțit cu automorfismul diagramei Dynkin.

Peste câmpurile de caracteristică 2 grupele B 2 ( F ) şi F 4 ( F ) iar peste câmpurile de caracteristică 3 grupele G 2 ( F ) au un endomorfism al cărui pătrat este un endomorfism legat de endomorfismul Frobenius al câmpului F . În linii mari, acest endomorfism provine dintr-un automorfism de ordinul 2 al diagramei Dynkin, unde lungimea rădăcinilor este ignorată.

Să presupunem că câmpul F are un endomorfism al cărui pătrat este un endomorfism Frobenius: . Atunci grupul Ree este definit ca grupul de elemente g din X ( F ) astfel încât . Dacă câmpul F este perfect, atunci și sunt automorfisme, iar grupul Ree este grupul de puncte fixe ale involuției pe X ( F ) .

În cazul în care F este un câmp finit de ordin p k (cu p = 2 sau 3), există un endomorfism pătrat Frobenius exact când k = 2 n + 1 este impar, caz în care este unic. Astfel, aceasta dă grupări Ree finite ca subgrupuri ale lui B 2 (2 2 n +1 ), F 4 (2 2 n +1 ) și G 2 (3 2 n +1 ), fixate prin involuție.

Grupurile Chevalley, grupurile Steinberg și grupurile Ree

Legătura dintre grupurile Chevalley, grupurile Steinberg și grupurile Ree este aproximativ următoarea. Având în vedere o diagramă Dynkin X , Chevalley a construit o schemă de grup peste numerele întregi Z ale căror valori peste câmpuri finite sunt grupuri Chevalley. În general, se pot lua puncte fixe ale unui endomorfism al unui grup X ( F ) , unde F  este închiderea algebrică a unui câmp finit, astfel încât un anumit grad este un anumit grad al endomorfismului Frobenius . Sunt posibile trei cazuri

Grupuri Ree de tip 2 B 2

Grupurile Ree de tip 2 B 2 au fost găsite pentru prima dată de Suzuki [6] folosind o abordare diferită și sunt denumite în mod obișnuit grupuri Suzuki . Rea a observat că acestea pot fi construite din grupuri de tip B 2 folosind o variantă a construcției lui Steinberg [7] . Ree a realizat că o construcție similară ar putea fi aplicată diagramelor Dynkin F 4 și G 2 , conducând la două noi familii de grupuri simple finite|.

Grupuri Ree de tip 2 G 2

Grupurile Ree de tip 2 G 2 (3 2 n +1 ) au fost introduse de Ree [1] , care a arătat că toate sunt simple, cu excepția primului grup 2 G 2 (3), care este izomorf cu grupul automorfism SL 2 (8) . Wilson [8] a dat o construcție simplificată a grupurilor Ree ca automorfisme ale unui spațiu vectorial cu 7 dimensiuni peste un câmp cu 3 2 n +1 elemente care păstrează forma biliniară, forma triliniară și produsul biliniar.

Grupul Ree are ordine , unde

Multiplicatorul Schur este banal pentru n  ≥ 1 și pentru 2 G 2 (3).

Grupul de automorfism exterior este ciclic și are ordinul.

Grupul Ree este uneori notat ca Ree( q ), R( q ) sau

Grupul Ree are o reprezentare de permutare dublu tranzitivă pe puncte și acționează ca automorfisme ale sistemului Steiner . De asemenea, acţionează asupra unui spaţiu vectorial 7-dimensional peste un câmp cu q elemente, fiind un subgrup de G 2 ( q ).

Subgrupurile 2-Sylow ale grupurilor Ree sunt abeliene cu ordinul 8. Teorema lui Walter arată că numai alte grupuri simple finite non-Abeliene cu 2-subgrupuri Abeliene Sylow sunt grupuri liniare speciale proiective în dimensiunea 2 și grupurile Janko J1 . Aceste grupuri au jucat și un rol în descoperirea primului grup sporadic modern. Au centralizatori de involuție de forma Z /2 Z × PSL 2 ( q ) iar în studiul grupurilor cu o involuție similară centralizatorul Janko a găsit grupul sporadic J 1 . Kleidman [9] a descoperit subgrupurile lor maxime.

Grupurile Ree de tip 2 G 2 sunt extrem de greu de descris. Thompson [10] [11] [12] a studiat această problemă și a reușit să arate că structura unui astfel de grup este determinată de un anumit automorfism al unui câmp finit cu caracteristica 3, iar dacă pătratul acestui automorfism este un automorfism Frobenius, atunci grupul este un grup Ree. El a dat, de asemenea, câteva condiții dificile pe care le îndeplinește un automorfism . În cele din urmă, Bombieri [13] a folosit teoria excluderii pentru a arăta că condițiile lui Thompson implică faptul că în toate, cu excepția celor 178 de cazuri mici, au fost eliminate de computer ( Andrew Odlyzko și Hunt). Bombieri a conștientizat această problemă citind un articol despre clasificarea lui Gorenstein [14] , care a sugerat că cineva din afară, nu un teoretician de grup, ar ajuta la rezolvarea problemei. Angear [15] a oferit un rezumat combinat al soluției lui Thompson și Bombieri la această problemă.

Grupuri Ree de tip 2 F 4

Grupurile de tip Ree au fost introduse de Ree [2] . Sunt simple, cu excepția primului , pentru care Tits [16] a arătat că are un subgrup simplu de indice 2, care este acum cunoscut sub numele de grupul Tits . Wilson [17] a oferit o construcție simplificată a grupurilor Ree ca simetrie a unui spațiu de 26 de dimensiuni peste un câmp de ordin 2 2 n +1 care păstrează forma pătratică, forma cubică și înmulțirea parțială.

Grupul Ree are ordinea unde . Multiplicatorul Schur este banal. Grupul de automorfism exterior este ciclic cu ordinul .

Aceste grupuri Ree au proprietăți neobișnuite, astfel încât grupul Coxeter al perechii (B, N) nu este cristalografic - este un grup diedric de ordinul 16. Tits [18] au arătat că toate poligoanele Moufang sunt obținute din grupurile Ree. de tip .

Vezi și

Note

  1. ↑ 12 Ree , 1960 .
  2. ↑ 12 Ree , 1961 .
  3. ↑ Sânii, 1960 .
  4. ↑ Sânii, 1989 .
  5. ↑ Hee, 1990 .
  6. ↑ Suzuki, 1960 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Wilson, 2010 .
  9. ↑ Kleidman, 1988 .
  10. ^ Thompson, 1967 .
  11. ↑ Thompson, 1972 .
  12. ^ Thompson, 1977 .
  13. ↑ Bombieri, 1980 .
  14. ↑ Gorenstein, 1979 .
  15. ↑ Enguehard, 1986 .
  16. ↑ Sânii, 1964 .
  17. ↑ Wilson, 2010b .
  18. ↑ Sânii, 1983 .

Literatură

Link -uri