Relație dublă

Raportul dual (sau raportul compus sau raportul anarmonic învechit ) al cvadruplului numerelor , , , ( real sau complex ) este definit ca $A$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)={\frac {ca}{cb}}:{\frac {da}{db}}.

Există, de asemenea, simboluri și . $(a,b;c,d)$ $[a,b;c,d]$

Proprietăți

$(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$
Raportul dublu este păstrat sub transformări liniar-fracționale , în special, nu depinde de alegerea coordonatelor pe linie.

(ab,cd)={\frac {1}{(ba,cd)}}={\frac {1}{(ab,dc)}}=1-(ac,bd)

În special, dacă raportul dublu al unui patru de numere este , atunci raportul dublu al oricăreia dintre cele 24 de permutări ale unui 4 este egal cu una dintre următoarele șase valori:

\lambda

\lambda ,{\frac {1}{\lambda }),1-\lambda ,{\frac {1}{1-\lambda }), {\frac {\lambda -1}{\lambda } },{\frac {\lambda }{\lambda -1))

Variații și generalizări

Raportul dublu (sau complex) al celor patru puncte , , , situate pe o linie dreaptă ( reală sau complexă ) se numește număr $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {ca}{cb)):{\frac {da}{db)),

unde , , , indică coordonatele punctelor , , , respectiv. Raportul dublu nu depinde de alegerea coordonatei pe linie. De asemenea, este adesea scris astfel: $A$ $b$ $c$ $d$ $A$ $B$ $C$ $D$

(AB,CD)={\frac {AC}{BC)):{\frac {AD}{BD)),

adică (respectiv ) denotă raportul segmentelor dirijate . $AC/BC$ $AD/BD$

Relația dublă a celor patru puncte de pe linie se păstrează sub transformări proiective ale planului sau spațiului.

Raportul dublu al celor patru linii , , , care trec printr-un punct este numărul $A$ $b$ $c$ $d$

(ab,cd)=\pm {\frac {\sin(a,c)}{\sin(b,c))):{\frac {\sin(a,d)}{\sin( b,d)}},

al cărui semn se alege astfel: dacă unul dintre unghiurile formate de drepte și nu intersectează niciuna dintre drepte sau (în acest caz, perechea de drepte și nu separă perechea de drepte și ), atunci ; altfel . $A$ $b$ $c$ $d$ $A$ $b$ $c$ $d$ $(ab,cd)>0$ $(ab,cd)<0$

Lăsați cele patru linii , , , să treacă prin punct și linia nu conține . Fie ca liniile , , , să se intersecteze cu , respectiv, în punctele , , și . Apoi $A$ $b$ $c$ $d$ $O$ $\ell$ $O$ $A$ $b$ $c$ $d$ $\ell$ $A$ $B$ $C$ $D$ $(ab,cd)=(AB,CD).$

Vezi și

Link -uri

R. Courant , G. Robbins , Ce este matematica?
Raportul anarmonic al punctelor // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Şal, Michel . Despre funcția anarmonică a patru puncte sau patru linii // Trecere istorică a originii și dezvoltării metodelor geometrice. T. 2. Aprox. IX. M., 1883.