Armonici patru

Un cvadruplu armonic de puncte este un cvadruplu de puncte pe o dreaptă proiectivă al cărei raport dual este . În acest caz, ei spun, de asemenea, că punctele și sunt conjugate armonic în raport cu și scriu . $(ABCD)=-1$ $C$ $D$ $A,B$ $H(AB,CD)$

Un cvadruplu armonic de drepte este un cvadruplu de drepte în planul proiectiv care trece printr-un punct pentru care orice cvadruplu de puncte astfel încât situat pe o singură dreaptă este armonic. În acest caz, scrieți . $a,b,c,d$ $S$ $A,B,C,D$ $A\in a,B\in b,C\in c,D\in d$ $H(ab,cd)$

Proprietăți

Dacă un patru armonic de linii este intersectat de o linie dreaptă, atunci se formează un patru armonic de puncte pe această linie.
Pe fiecare parte a unui patru vârf complet există un patru armonic de puncte.[ clarifica ]
Pe fiecare diagonală a unui patru vârf complet există un patru armonic de puncte.[ clarifica ]
Quadrul armonic de puncte de pe planul complex se află pe aceeași linie sau cerc, iar perechile de tangente din puncte opuse sunt concurente cu diagonala.

Clădire

Pentru orice trei puncte situate pe aceeași linie dreaptă, folosind proprietățile armonice ale unui patru vârf complet, puteți construi un al patrulea punct, astfel încât să obțineți o armonică cu patru puncte.
În figura de mai sus, punctele de intersecție a două perechi de laturi opuse ML și KN , MK și LN ale patrulaterului complet MLNK (respectiv, primele două puncte A și B ale dreptei), precum și punctele D și C ale intersectia, respectiv, a diagonalelor LK si MN cu aceasta dreapta (linia AC ), care trece prin aceste puncte, formeaza o armonica patru puncte A, B, C, D .
Construcția ultimului punct (vezi și figura) este complet duplicată de următoarea teoremă [1] : Pentru un punct K , linia Ceva (de exemplu , LD ) a triunghiului ALB și dreapta MN , care leagă bazele M și N din alte două linii Ceva AN și BM , împart armonic latura opusă AB .

Un exemplu de patru armonic de puncte

Bisectoarele unghiurilor interior și exterior la un vârf al triunghiului intersectează latura opusă acestui vârf și, în consecință, continuarea ei în două puncte, care, împreună cu cele două capete ale acestei laturi, formează un patru armonic de puncte [2] ] .
Un punct conjugat armonic la mijlocul unei laturi a unui triunghi se află pe prelungirea acestei laturi la infinit [3] .

Cvadruplu armonic pe planul euclidian extins

Dacă punctul este impropriu , atunci cvadruplu este armonic, dacă este punctul de mijloc al segmentului . $D_{\infty )$ $A,B,C,D_{\infty )$ $C$ $AB$
Dacă este un patru vârf complet și punctele sale diagonale sunt improprii, atunci este un paralelogram pe planul euclidian extins și din proprietățile sale armonice rezultă că punctul de intersecție al diagonalelor sale le bisectează. $ABCD$ $P_{\infty},Q_{\infty }$ $ABCD$
Dacă - un patru vârf complet, care are un punct diagonal - impropriu, atunci pe planul euclidian extins - un trapez, iar din proprietățile sale armonice rezultă că bisectează . $ABCD$ $R_{\infty}=BC\cap AD$ $P=AB\cap CD,Q=AC\cap BD$ $ABCD$ $PQ$ $ANUNȚ$

Note

↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. Moscova: Uchpedgiz, 1962. Teorema la p. 46, § 31.
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. Moscova: Uchpedgiz, 1962. Teorema la p. 46, § 30.
↑ Zetel S. I. Noua geometrie a unui triunghi. Un ghid pentru profesori. editia a 2-a. M.: Uchpedgiz, 1962. Problemă la p. 46, § 30.

Literatură

Bazilev, Dunichev, Ivanitskaya. Geometrie, partea 2. - M . : Educație, 1975.

Efimov N. V. Geometrie superioară. - Ed. a VI-a - M. , 1978.

Pevzner S.L. Geometrie proiectivă. - M . : Educație, 1980.

Postnikov M. M. Geometrie analitică. — 1973.

H. S. M. Coxeter. Plan proiectiv real / ed. prof. A. A. Glagoleva. - M. , 1959.