Dualitate (teoria categoriilor)

Dualitatea în teoria categoriilor este relația dintre proprietățile categoriei C și așa-numitele proprietăți duale ale categoriei duale C op . Luând afirmația despre categoria C și schimbând imaginea și preimaginea fiecărui morfism, precum și ordinea în care sunt aplicate morfismele, obținem afirmația duală despre categoria C op . Principiul dualității este că afirmațiile adevărate după o astfel de operațiune devin adevărate, iar afirmațiile false devin false.

Definiție formală

Limbajul teoriei categoriilor este definit ca un limbaj de ordinul întâi cu două tipuri de simboluri, obiecte și morfisme, cu proprietatea unui obiect de a fi o imagine sau un prototip al unui morfism și un simbol pentru compoziția morfismelor.

Fie σ orice cuvânt al limbii. Cuvântul său dual σ op este format din următoarele reguli:

schimbați toate „imaginile” cu „pre-imagini” în σ ,
inversați ordinea compoziției morfismelor, adică înlocuiți toate aparițiile cu . $g\circf$ $f \circ g$

Cu alte cuvinte, trebuie să inversați toate săgețile și să rearanjați argumentele tuturor compozițiilor .

Dualitatea este observația că σ este valabilă într-o anumită categorie C dacă și numai dacă σ op este valabilă în C op .

Exemple

Un morfism este un monomorfism atunci când decurge din . Aplicând operația dualității obținem aserția care decurge din . Pentru un morfism , aceasta înseamnă exact că f este un epimorfism de . Astfel, proprietatea „a fi un monomorfism” este duală cu proprietatea „a fi un epimorfism”. $f\colon A\la B$ $f\circ g=f\circ h$ $g=h$ $g\circ f=h\circ f$ $g=h$ $f\colon B\la A$
Limita și colimita sunt concepte duale.
Obiectul inițial și obiectul terminal sunt concepte duale.

Literatură

I. M. Vinogradov. Categorie duală // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
I. M. Vinogradov. Principiul dualității // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
I. M. Vinogradov. S-dualitate // Enciclopedia matematică. — M.: Enciclopedia Sovietică . - 1977-1985. (Rusă)
McLane S. Capitolul 2. Construcții în categorii // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .