Limită (teoria categoriilor)

O limită în teoria categoriilor  este un concept care generalizează proprietățile unor astfel de construcții ca un produs , un pătrat cartezian și o limită inversă . Noțiunea duală de colimită generalizează proprietățile unor astfel de construcții ca unire disjunctă , coprodus , pătrat de codcartes și limită directă .

Limitele și colimitele, precum și conceptele strâns legate de proprietatea universală și functorii adjuncți , sunt concepte de un nivel înalt de abstractizare. Pentru a le înțelege mai bine, este util să studiem mai întâi exemple de constructe pe care aceste concepte le generalizează.

Definiție

Limitele și colimitele sunt definite folosind diagrame . O diagramă de tip J din categoria C  este un functor:

Categoria J este o categorie de indexare iar functorul F joacă rolul de etichetare a obiectelor și morfismelor categoriei C în ceea ce privește categoria J . De cel mai mare interes este cazul când J  este o categorie mică sau finită. În acest caz, diagrama F  : J → C se numește mică sau finită.

Fie  F  : J → C o diagramă de tip J din categoria C . Un con peste F  este un obiect N în C împreună cu o familie de morfisme ψ X  : N → F ( X ) indexate de obiectele X din categoria J astfel încât pentru orice morfism f  : X → Y în J este adevărat că F ( f ) o ψ X = ψ Y .

Limita unei diagrame F  : J → C  este un con ( L , φ) peste F astfel încât pentru orice con ( N , ψ) peste F există un morfism unic u  : N → L astfel încât φ X o u = ψ X pentru toate X la J. [unu]

Noțiunea de colimită  este definită într-un mod similar - toate săgețile trebuie inversate. Și anume:

Coconul unei diagrame F  : J → C  este un obiect N din categoria C împreună cu o familie de morfisme:

pentru fiecare X în J astfel încât ψ Y o F ( f ) = ψ X este adevărat pentru orice morfism f  : X → Y în J .

Colimita diagramei F  : J → C  este un cocon ( L , φ) astfel încât pentru orice alt cocon ( N , ψ) există un morfism unic u  : L → N astfel încât u o φ X = ψ X pentru toate X în J. _

Ca orice obiect universal, limitele și colimitele nu există întotdeauna, dar dacă există, ele sunt definite până la izomorfism.

Exemple de limite

Definiția unei limite categoriale este suficient de largă pentru a generaliza alte construcții categoriale utilizate frecvent. Exemplele consideră limita ( L , φ) diagramei F  : J → C.

• obiecte terminale. Dacă J  este o categorie goală, există o singură diagramă de tip J în C , cea  goală. Conul de deasupra diagramei goale este pur și simplu orice obiect din categoria C . O limită peste F  este orice astfel de obiect la care există un morfism unic de la orice obiect, adică un obiect terminal.
• Opere de artă . Aici J  este o categorie discretă (fără morfisme), iar diagrama definită de functorul F  este o familie de obiecte C indexate de J iar limita este produsul lor împreună cu proiecțiile la factori, proiecțiile formează o familie de morfisme din definiția lui. un con.
• Egalizator . Aici J  este o categorie de două obiecte și două morfisme paralele, apoi F  sunt două morfisme paralele, iar limita este egalizatorul lor.
  • Nucleul  este un caz special al egalizatorului, unde unul dintre morfisme este nul.
• pătrat cartezian . Aici J constă din trei obiecte și morfisme de la primul și al doilea obiect la al treilea.
• Dacă J  este o categorie a unui element și morfismul de identitate, atunci limita este elementul în care este mapat J.
• Limite topologice. Limitele de funcție sunt un caz special de limite de filtru , care sunt legate de limitele categorice în felul următor. Într-un spațiu topologic dat X , se consideră F  , un set de filtre pe X , un punct x ∈ X , V ( x ) ∈ F  , un filtru de vecinătăți x , A ∈ F  , un filtru specific și  un set de filtre mai subțiri. decât A și convergând spre x . Pe filtrele F , se poate defini o structură de categorie spunând că o săgeată A → B există dacă și numai dacă A ⊆ B . Imbricarea devine un functor și următoarea afirmație este adevărată: x  este o limită topologică a lui A dacă și numai dacă A  este o limită categorială. [2]

Proprietăți

Existenta

Se spune că o categorie are limite de tip J dacă orice diagramă de tip J are o limită.

O categorie se numește completă dacă are o limită pentru orice diagramă mică (adică o diagramă ale cărei elemente formează o mulțime). Categoriile finit complete și cocomplete sunt definite în mod similar.

Proprietate generică

Se consideră o categorie C cu diagrama J . Categoria functorilor C J poate fi gândită ca fiind categoria diagramelor de tip J din C . Un functor diagonal  este un functor care mapează un element N din categoria C într-un functor constant Δ( N ) : J → C care mapează totul la N .

Având în vedere o diagramă F : J → C (înțeleasă ca obiect C J ), transformarea naturală ψ : Δ( N ) → F (înțeleasă ca morfism al categoriei C J ) este aceeași cu conul de la N la F . Componentele lui ψ  sunt morfisme ψ X  : N → F ( X ) . Definițiile limitei și colimitului pot fi rescrise ca [3] :

• Limita lui F  este săgeata universală de la Δ la F .
• Colimita F  este săgeata universală de la F la Δ .

Functori și limite

Functorul G  : C → D induce o mapare de la Con ( F ) la Con ( GF ) . G păstrează limitele în F dacă ( GL , G φ)  este o limită a lui GF când ( L , φ)  este o limită a lui F [4] . Un functor G păstrează toate limitele de tip J dacă păstrează limitele tuturor diagramelor F  : J → C . De exemplu, se poate spune că G păstrează produsele, egalizatoarele și așa mai departe Un functor continuu  este un functor care păstrează toate limitele mici . Definiții similare sunt introduse pentru colimits.

O proprietate importantă a functorilor adjuncți  este că fiecare functor adjunct drept este continuu și fiecare functor adjunct stâng este finit continuu [5] .

Un functor G  : C → D ridică limite pentru o diagramă F  : J → C dacă faptul că ( L , φ)  este o limită a lui GF implică faptul că există o limită ( L ′, φ′) în F astfel încât G ( L ′, φ′) = ( L , φ) [6] . Un functor G ridică limite de tip J dacă ridică limite pentru toate diagramele de tip J . Există definiții duale pentru colimits.

Note

1. ↑ Goldblatt, 1983 , p. 70-71.
2. ↑ Mathematics Stack Exchange, răspunsul lui Stephan F. Kroneck . Consultat la 6 aprilie 2014. Arhivat din original la 1 mai 2013. (nedefinit)
3. ↑ McLane, 2004 , p. 81, 83.
4. ↑ McLane, 2004 , p. 137.
5. ↑ McLane, 2004 , p. 140.
6. ↑ Adamek, 1990 , p. 227.

Literatură

• McLane S. Capitolul 3. Construcții universale și limite // Categorii pentru matematicianul care lucrează = Categorii pentru matematicianul care lucrează / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• R. Goldblatt. Topoi. Analiza categorică a logicii. - M . : Mir, 1983. - 487 p.
• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst și Strecker, George E. Categorii abstracte și concrete . — 1990. Iniţial publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 . (acum ediție online gratuită).