Cuantilă

O cuantilă în statistica matematică este o valoare pe care o anumită variabilă aleatoare nu o depășește cu o probabilitate fixă . Dacă probabilitatea este dată ca procent, atunci cuantila se numește percentilă sau percentilă (vezi mai jos ).

De exemplu, expresia „percentila 90 din greutatea corporală la băieții nou-născuți este de 4 kg” [1] înseamnă că 90% dintre băieți se nasc cu o greutate mai mică sau egală cu 4 kg, iar 10% dintre băieți se nasc cu o greutate mai mare de 4 kg. .

Definiție

Considerăm un spațiu de probabilitate și este o măsură de probabilitate care specifică distribuția unei variabile aleatoare . Să fie reparat . Atunci -quantila (sau cuantila de nivel ) a distribuției este numărul , astfel încât $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$ $\mathbb {P} ^{X}$ $X$ $\alpha \in(0,\;1)$ $\alfa$ $\alfa$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x_{\alpha }\in \mathbb{R}$

\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha

\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .

În unele surse (de exemplu, în literatura de limba engleză), -m -quantile este cuantila de nivel , adică -quantila în notația anterioară. $k$ $q$ $k/q$ $(k/q)$

Note

Dacă distribuția este continuă, atunci -quantila este dată în mod unic de ecuație $\alfa$

F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,

unde este functia de distributie . $F_{X}$ $\mathbb {P} ^{X}$

Evident, pentru distribuțiile continue, următoarea egalitate, care este utilizată pe scară largă în construirea intervalelor de încredere , este valabilă:

{\mathbb {P}}\left(x_{{{\frac {1-\alpha }{2}}}}\leqslant X\leqslant x_{{{\frac {1+\alpha }{2}}} }\right)=\alpha .

Pentru o distribuție empirică, -quantila poate fi specificată în felul următor: $\alfa$

compunem o serie variațională de valori (proba are un volum ) și, de asemenea, luăm în considerare acest lucru (acest lucru este necesar atunci când se calculează cuantila 100% folosind formulele de mai jos); $V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{{N-1}}$ $N$ $V_{N}=V_{{N-1}}$
găsiți valoarea ; $K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor$
compara si : $K$ $\alpha \cdot N$

a) dacă , atunci setăm ;

K+1<\alpha N

x_{\alpha }=V_{{K+1}}

b) dacă , atunci setăm ;

K+1=\alpha N

x_{{\alpha }}=(V_{K}+V_{{K+1}})/2

c) dacă , atunci presupunem .

K+1>\alpha N

x_{{\alpha }}=V_{K}

Dată în acest fel, -quantila satisface definiția de mai sus. $\alfa$

În unele cazuri (cu o dimensiune mare a eșantionului și o distribuție empirică apropiată de continuă) , o comparație aproximativă poate fi utilizată în loc de egalitate (acest lucru va permite, de exemplu, cuantila de nivel 1/3 să fie reprezentată ca 0,33 ... 333). în prelucrarea informatică a datelor). $K+1=\alpha N$ $|K+1-\alpha N|<1/N$

Mediană și quartile

Cuantila 0,25 se numește prima (sau inferioară) quartila (din latină quarta - un sfert);
Cuantila 0,5 se numește mediană (din latină mediāna - mijloc) sau a doua cuartilă ;
Cuantila 0,75 se numește a treia (sau cea de sus) quartila .

Interval interquartile ( ing. Interquartile range ) este diferența dintre al treilea și primul quartile, adică . Intervalul intercuartil este o caracteristică a răspândirii distribuției unei valori și este un analog robust al dispersiei . Împreună, mediana și intervalul intercuartil pot fi utilizate în locul mediei și varianței în cazul distribuțiilor cu valori aberante mari sau când acestea din urmă nu pot fi calculate. $x_{{0{,}75}}-x_{{0{,}25}}$

Decile

Un decil caracterizează distribuția valorilor populației, în care nouă valori decile o împart în zece părți egale. Oricare dintre aceste zece părți reprezintă 1/10 din total. Astfel, primul decil separă 10% dintre cele mai mici valori de sub decil de 90% dintre cele mai mari valori de deasupra decilului.

La fel ca în cazul modului și al mediei, în seria de variație a intervalului de distribuție, fiecare decilă (și cuartilă) aparține unui anumit interval și are o valoare bine definită [2] .

Percentila

$p$ A treia percentila este cuantila de nivel . În consecință, mediana este a 50-a percentila, iar prima și a treia quartile sunt a 25-a și, respectiv, a 75-a. $\alpha =p/100$

În general, conceptele de cuantilă și percentilă sunt interschimbabile. , precum si baremele de calcul a probabilitatilor - absolute si procentuale.

Percentilele sunt numite și percentile sau centile .

Cuantile ale distribuției normale standard

Probabilitate (nivel cuantilic), %	99,99	99,90	99.00	97,72	97,50	95.00	90.00	84.13	50.00
Quantila (rotunjită la miimi)	3.719	3.090	2.326	1.999	1.960	1.645	1.282	1.000	0.000

Vezi și

Note

↑ Ghid pentru medicul pediatru local . - GEOTAR-Media, 2008. - S. 44. - 354 p.
↑ Shmoylova R. A., Minashkin V. G., Sadovnikova N. A. Workshop on theory of statistics. - Ed. a 3-a. - M. : Finanțe și statistică, 2011. - P. 130-131. — 416 p. — ISBN 9785279032969 . .

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare Treccani
În cataloagele bibliografice	GND : 4224812-7