Constant Catalana

Constanta catalană este un număr găsit în diverse aplicații ale matematicii - în special, în combinatorică . Cel mai adesea notat cu litera G , mai rar - K sau C. Poate fi definit ca suma unei serii alternante de semne infinite :

G=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1} {1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2 }}}+\puncte

Valoarea sa numerică este de aproximativ [1] :

G = 0,915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 … (secvența A006752 în OEIS )

Nu se știe dacă G este un număr rațional sau irațional .

Constanta Catalana a fost numită după matematicianul belgian Eugène Charles Catalan ( franceză: Eugène Charles Catalan ).

Relația cu alte funcții

Constanta catalană este un caz special al funcției beta Dirichlet :

G=\beta (2).

De asemenea, corespunde valorii particulare a funcției Clausen , care este legată de partea imaginară a dilogaritmului.

G=\operatorname {Cl} _{2}(\pi /2)=\operatorname {Im} \left(\operatorname {Li} _{2}(e^{i\pi /2})\ dreapta)=\operatorname {Im} {\big (}\operatorname {Li} _{2}(i){\big )}.

În plus, este asociat cu valorile funcției trigam (un caz special al funcției poligam ) ale argumentelor fracționale.

\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G,

\psi _{1}\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G,

asa de

G={\tfrac {1}{16}}\left[\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)-\psi _{1}\left( {\tfrac {3}{4}}\dreapta)\dreapta].

Simon Pluff a găsit un număr infinit de identități între funcția trigamșiconstanta catalană G . $\psi_{1}$ $\pi ^{2}$

Constanta catalană poate fi exprimată și în termeni de valori parțiale ale funcției Barnes G și ale funcției gamma :

G=4\pi \ln \left({\frac {G({\tfrac {3}{8)})G({\tfrac {7}{8)}}}{G({\tfrac {1}{8)))G({\tfrac {5}{8))))}\right)+4\pi \ln \left({\frac {\Gamma ({\tfrac {3}{8} ))}{\Gamma ({\tfrac {1}{8))))}\right)+{\frac {\pi }{2))\ln \left({\frac {1+{\sqrt { 2}}}{2(2-{\sqrt {2}})))}\dreapta).

Reprezentări integrale

Mai jos sunt câteva reprezentări integrale ale constantei catalane G în termeni de integrale ale funcțiilor elementare :

G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln t}{1+t^{2)}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}\,dx\ ,dy,

G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi /2}{\frac {t}{\sin t}}\,dt,

G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}\,dx,

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\cosh x}}\,dx.

Poate fi reprezentată și prin integrala integralei eliptice complete de primul fel K( x ):

G={\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (x)\,dx.

Serii rapide convergente

Următoarele formule conțin serii rapid convergente și sunt utile pentru calcule numerice:

G={\frac {\pi }{8}}\ln({\sqrt {3}}+2)+{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}

și

$G=$	$3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n)}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{ 2))}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2} }}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}} +{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\dreapta)-{}$
	${}-2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}( 8n+2)^{2))}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2))}-{\frac {1}{2^{9}(8n+ 5 )^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7) ^ {2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\dreapta).$

Justificarea teoretică pentru utilizarea acestui tip de serii a fost dată de Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar pentru prima formulă [2] și de David J. Broadhurst pentru a doua formulă [3] . Algoritmi pentru calculul rapid al constantei catalane au fost construiti de E. A. Karatsuba [4] [5] .

Fracții continuate

Fracția continuă a constantei catalane (secvența A014538 în OEIS ) este următoarea:

G=[0;1,10,1,8,1,88,4,1,1,7,22,1,2,3,26,1,11,1,10,1,9, 3,1,1,1,1,1,1,\puncte ]=

=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+\ldots )))))) }}\;

Sunt cunoscute următoarele fracții continuate generalizate pentru constanta catalană:

2G=2-{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{3+{\cfrac {4^{2 }}{1+{\cfrac {4^{2}}{3+{\cfrac {6^{2}}{1+{\cfrac {6^{2}}{3+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {4n^{2}}{1+{\cfrac {4n^{2}}{3+\dots ))))))))))))))))) ))))} }}}

2G=1+{\cfrac {1}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {1\cdot 2}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {2\cdot 3}{ {\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {3^{2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{{\cfrac {1}{2}}+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{{\cfrac {1}{2}}+\puncte }}}}}}} }}}}}}}}}}}

[6]

Calcularea cifrelor zecimale

Numărul de cifre semnificative cunoscute ale constantei catalane G a crescut semnificativ în ultimele decenii, datorită atât puterii computerului crescute, cât și algoritmilor îmbunătățiți [7] .

Numărul de cifre semnificative cunoscute ale constantei catalane G

data	Numărul de cifre semnificative	Autorii de calcul
1865	paisprezece	Eugene Charles Catalan
1877	douăzeci	James Whitbread Lee Glaisher
1913	32	James Whitbread Lee Glaisher
1990	20 000	Greg J Fee
1996	50.000	Greg J Fee
1996, 14 august	100.000	Greg J. Fee și Simon Plouff
1996, 29 septembrie	300 000	Thomas Papanikolaou
1996	1 500 000	Thomas Papanikolaou
1997	3 379 957	Patrick Demichel
1998, 4 ianuarie	12 500 000	Xavier Gourdon
2001	100 000 500	Xavier Gourdon și Pascal Sebah
2002	201 000 000	Xavier Gourdon și Pascal Sebah
2006 octombrie	5.000.000.000	Shigeru Kondo și Steve Pagliarulo [8]
2008 august	10.000.000.000	Shigeru Kondo și Steve Pagliarulo [9]
31 ianuarie 2009	15 510 000 000	Alexander J. Yee și Raymond Chan [10]
16 aprilie 2009	31 026 000 000	Alexander J. Yee și Raymond Chan [10]

Vezi și

Note

↑ Catalan's Constant to 1.500.000 Places (HTML). gutenberg.org. Consultat la 5 februarie 2011. Arhivat din original pe 24 septembrie 2009. (nedefinit)
↑ B. C. Berndt, Ramanujan's Notebook, Part I, Springer Verlag (1985).
↑ DJ Broadhurst, „ Scări polilogaritmice, serie hipergeometrică și zece milionea cifre ale ζ(3) și ζ(5) Arhivate la 13 iulie 2019 la Wayback Machine ”, (1998) arXiv math.CA/9803067.
↑ EA Karatsuba. Calcul rapid al funcțiilor transcendentale // Probleme de transmitere a informațiilor. - 1991. - T. 27 , nr 4 . - S. 87-110 .
↑ E. A. Karatsuba, Calcul rapid al unor integrale speciale ale fizicii matematice. Scientific Computing, Validated Numerics, Interval Methods, W. Krämer, J. W. von Gudenberg, eds.; pp. 29-41 (2001).
↑ Steven R. Finch Constante matematice 1.6.6
↑ X. Gourdon, P. Sebah, Constants and Records of Computation Arhivat 15 ianuarie 2011 la Wayback Machine
↑ Site-ul lui Shigeru Kondo Arhivat 11 februarie 2008.
↑ Constante și înregistrări de calcul . Consultat la 6 februarie 2011. Arhivat din original pe 15 ianuarie 2011. (nedefinit)
↑ 12 calcule mari . Preluat la 6 februarie 2011. Arhivat din original la 9 decembrie 2009. (nedefinit)

Link -uri

Victor Adamchik, 33 de reprezentări pentru constanta catalană
Victor Adamchik. O anumită serie asociată cu constanta lui Catalan // Zeitschr . f. Analysis und ihre Anwendungen (ZAA): jurnal. - 2002. - Vol. 21 , nr. 3 . - P. 1-10 .
Simon Plouffe, A few identities (III) with Catalan Arhivat 20 aprilie 2009 la Wayback Machine , (1993)
Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi² Arhivat 21 aprilie 2009 la Wayback Machine , (1999)
Weisstein, Eric W. Catalan's Constant (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Constanta catalană: Seria de putere generalizată la Wolfram Functions
Greg Fee, Catalan's Constant (Formula lui Ramanujan) (1996)
David M. Bradley. O clasă de formule de accelerare a seriei pentru constanta lui Catalan // The Ramanujan Journal : journal. - 1999. - Vol. 3 , nr. 2 . - P. 159-173 . - doi : 10.1023/A:1006945407723 .
David M. Bradley (2007), A class of series acceleration formules for Catalan's constant, arΧiv : 0706.0356 .

Numere cu nume proprii

Constante matematice

Algebric

Transcendental ,
probabil transcendental

Grade de o mie

numere vechi rusești

Alte puteri de zece

Puterile de doisprezece

Altele întregi

Alte numere

unitate imaginară