Difeomorfismul Anosov

Difeomorfismul Anosov este un difeomorfism hiperbolic pe întreaga varietate , o mapare cu dinamică stabilă în raport cu perturbațiile mici. Introdus în teoria sistemelor dinamice de Dmitri Anosov . $f\colon M\rightarrow M$ $M$

Hiperbolicitatea pe o varietate înseamnă că există o descompunere a mănunchiului tangent într-o sumă directă a două subbundle continue și , care sunt invariante în dinamică, iar dinamica se extinde și se comprimă exponențial: $M$ $TM$ $E^{u)$ $E^{s)$ $E^{u)$ $E^{s)$

\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \în E^{s}

\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \în E^{u}

unde și sunt constante. $c_{1},c_{2}>0$ $\mu >1>\lambda >0$

Difeomorfismele Anosov sunt stabile din punct de vedere structural : pentru orice difeomorfism Anosov , există o astfel de vecinătate în spațiul difereomorfismelor de clasă , orice difeomorfism din care este conjugat cu un homeomorfism : . Cu alte cuvinte, dinamica unei mici perturbații diferă de ea însăși doar printr-o schimbare (continuă) a coordonatelor. $f$ $C^1$ $g$ $f$ $h$ $f\circ h=h\circ g$ $f$ $f$

Partea extensibilă a definiției poate fi rescrisă ca compresie inversă în timp:

\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\ ,v\în E^{u}

Cel mai cunoscut exemplu de difeomorfism Anosov este acțiunea unei mapări pe un tor bidimensional . Mai general: dacă matricea nu are valori proprii egale în valoare absolută cu unu, atunci coborârea acțiunii lui A la tor (bine definită, deoarece păstrează ) va fi un difeomorfism Anosov. $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2)$ $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ $\mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n)$ $A$ $\mathbb{Z } ^{n}$

Literatură

V. I. Arnold . Capitole suplimentare ale teoriei ecuațiilor diferențiale ordinare. — M .: Nauka, 1978.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducere în teoria modernă a sistemelor dinamice cu o trecere în revistă a realizărilor recente / Per. din engleza. ed. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .