Diferențiere (algebră)

Diferențierea în algebră este o operație care generalizează proprietățile diferitelor derivate clasice și permite introducerea unor idei geometrice diferențiale în geometria algebrică . Inițial, acest concept a fost introdus pentru a studia integrabilitatea expresiilor în funcții elementare prin metode algebrice.

Inel , câmp , algebră echipată cu diferențiere se numesc inel diferențial , câmp diferențial , respectiv algebră diferențială .

Definiție

Fie o algebră peste un inel . O derivație algebrică este o mapare -liniară care satisface identitatea Leibniz: $A$ $R$ $A$ $R$ $\partial:A\to A$

\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)

Într-un caz mai general, o derivație comutativă cu valori în modulul - este o hartă -liniară care satisface identitatea Leibniz. În acest caz , mulțimea tuturor derivărilor cu valori în este notă cu ( , ) și este un -modul. Un functor este reprezentabil , obiectul său reprezentativ este notat cu sau și se numește modulul diferențialelor Kähler . este obiectul inițial din categoria modulelor diferențiale peste , adică există o derivație astfel încât orice derivație trece prin : $A$ $A$ $M$ $R$ $\partial:A\to M$ $M$ $A$ $M$ $\mathrm {D} (M)$ $\mathrm {Der} (M)$ $\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ $A$ $\mathrm{D}$ $\Lambda ^{1}(A)$ $\Omega _{A/R}^{1}$ $\Lambda ^{1}(A)$ $A$ $d:A\to \Lambda ^{1}(A)$ $\delta \in \mathrm {D} (M)$ $d$

\exists !f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d

Proprietăți

$\mathrm {D} (A)$ are o structură naturală de algebră Lie : . $\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}\in \mathrm {D} (A)\implies [\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}\in \ mathrm{D}(A)$

Orice derivație este un operator diferențial de ordinul întâi (în sensul algebrei comutative). Mai mult, dacă este o algebră cu unitate, atunci pentru orice -modul avem : $A$ $A$ $M$

\mathrm {Dif.} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M

unde este modulul operatorilor diferenţiali de ordinul întâi de la la . $\mathrm {Dif.} _{1}(M)$ $A$ $M$

$\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ este un functor de la la . $({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)$ $A-{\mathcal {M}}od$

Diferențierea gradată

Pentru o algebră gradată cu gradarea elementului notată cu , analogul diferențierii este derivațiile gradate generate de mapările de grad omogene care satisfac următoarea identitate Leibniz gradată ( ): $\mathbb {Z}$ $A$ $a\în A$ $|a|$ $\mathrm {D}:A\la A$ $|\mathrm {D} |$ $\varepsilon=\pm$

\mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)

Dacă , atunci derivațiile gradate coincid cu cele obișnuite. Dacă , atunci ele sunt de obicei numite superderivații . Superderivațiile formează o superalgebră Lie în raport cu supracomutatorul: $\varepsilon=1$ $\varepsilon=-1$

[\mathrm {D} _{1},\mathrm {D} _{2}]=\mathrm {D} _{1}\circ \mathrm {D} _{2}-(-1) ^{|\mathrm {D} _{1}||\mathrm {D} _{2}|}\mathrm {D} _{2}\circ \mathrm {D} _{1}

Exemple de superderivații sunt derivațiile exterioare și interioare de pe inelul formelor diferențiale .

Literatură

Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I , Elemente de matematică, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Kolar, Ivan; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), Operații naturale în geometrie diferențială , Springer-Verlag , < http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html > .