Diferenţial Kähler

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 6 februarie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Diferențialele Kähler sunt o adaptare a formelor diferențiale pentru inele sau scheme comutative arbitrare . Acest concept a fost introdus de Erich Köhler în anii 1930.

Definiție

Fie și să fie inele comutative și să fie un homomorfism inel . Un exemplu important este când este un câmp și este o algebră unitară peste (cum ar fi inelul de coordonate al unei varietăți afine ). Diferențiale Kähler formalizează observația că derivata unui polinom este din nou un polinom. În acest sens, conceptul de diferențiere poate fi exprimat pur algebric. Această observație poate fi transformată în definirea modulului diferențialelor $R$ $S$ $\varphi:R\la S$ $R$ $S$ $R$

\Omega _{S/R}.

în mai multe moduri echivalente.

Definiție prin derivații

$R$ -derivarea liniară a unei algebre este un homomorfism al -modulelor într-un -modul care conține o imagine în nucleul său și care satisface regula Leibniz . Modulul diferenţialelor Kähler este definit ca un -modul pentru care există o derivaţie universală . Ca și în cazul altor proprietăți universale, aceasta înseamnă că d este cea mai bună derivare posibilă , în sensul că orice altă derivație poate fi obținută din ea prin compoziția cu homomorfismul -modulului. Cu alte cuvinte, compoziția cu d induce, pentru orice -modul M , un izomorfism de -module $S$ $R$ $d\colon S\la M$ $S$ $M$ $R$ $d(fg)=f\,dg+g\,df$ $S$ $\Omega _{S/R)$ $d\colon S\la \Omega _{S/R)$ $S$ $S$ $S$

\operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).

Construcția lui Ω S / R și d se poate face prin construirea unui modul liber cu un generator ds pentru fiecare și factorizarea prin relații $S$ $s$ $S$

dr = 0
d ( s + t ) = ds + dt ,
d ( st ) = s dt + t ds ,

pentru toti din si toti si din . Diferențierea universală se traduce prin . Din relații rezultă că derivația universală este un homomorfism de -module. $r$ $R$ $s$ $t$ $S$ $s$ $ds$ $R$

Definiție prin augmentation ideal

O altă construcție se realizează luând în considerare idealul în produsul tensor , definit ca nucleul hărții de multiplicare . Atunci modulul diferenţialelor Kähler poate fi definit ca [1] Ω S / R = I / I 2 , iar derivaţia universală poate fi definită ca un homomorfism d definit prin formula $eu$ $S\otime _{R}S$ $S\otimes _{R}S\la S,\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i)$

ds=1\otimes ss\otimes 1.

Pentru a vedea că această construcție este echivalentă cu cea anterioară, rețineți că I este nucleul proiecției dată de . Prin urmare avem: $S\otimes _{R}S\la S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$

S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.

Apoi poate fi identificat cu I prin maparea indusă de proiecția complementară . Acesta se identifică cu modulul -generat de generatorii formali pentru din , și este un homomorfism al -modulelor care duc orice element la zero. Factorizarea prin impune exact regula lui Leibniz . $S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R$ $\Sigma s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \Sigma s_{i}\otimes t_{i}-\Sigma s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1$ $eu$ $S$ $ds$ $s$ $S$ $d$ $R$ $R$ $eu^{2}$

Exemple și proprietăți de bază

Pentru orice inel comutativ R , diferențialele Kähler ale inelului polinomial formează un S -modul liber de rang n generat de diferențialele variabilelor: $S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]$

\Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\ puncte t_{n}]\,dt_{i}.

Diferențialele Kähler sunt în concordanță cu extensia scalară, în sensul că pentru a doua R -algebră R ′ și pentru există un izomorfism $S'=R'\otimes _{R}S$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.

În special, diferențialele Kähler sunt în concordanță cu localizările , în sensul că dacă W este o submulțime multiplicativă a lui S , atunci există un izomorfism

W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.

Având în vedere două homomorfisme , atunci există o scurtă secvență exactă de module T $R\la S\la T$

\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\la \Omega _{T/R}\la \Omega _{T/S}\la 0.

Dacă pentru un ideal I , atunci termenul dispare și secvența continuă spre stânga după cum urmează: $T=S/I$ $\Omega _{T/S}$

I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\la \Omega _{T/R} \la 0.

Diferențiale Kähler pentru scheme

Deoarece diferențele Kähler sunt în concordanță cu localizarea, ele pot fi construite pe o schemă generală prin aplicarea oricăreia dintre definițiile de mai sus pentru schemele afine și lipirea lor împreună. Totuși, a doua definiție are o interpretare geometrică care se globalizează imediat. În această interpretare , I reprezintă un ideal care definește o diagonală în produsul fibrei Spec( S ) cu el însuși peste Spec( S ) → Spec( R ) . Această construcție este mai geometrică, în sensul că reflectă conceptul de prima vecinătate infinitezimală a diagonalei, cu ajutorul funcțiilor care dispar pe ea modulo funcții care dispar în al doilea ordin. Mai mult, aceasta poate fi generalizată la un morfism de schemă arbitrară , definit ca idealul diagonalei din produsul fibrei . Snopul cotangent , împreună cu derivația , definită similar cu cea anterioară, este universală printre derivațiile -liniare ale -modulelor. Dacă U este o subschemă afină deschisă a lui X a cărei imagine în Y este conținută într-o subschemă afină deschisă a lui V , atunci snopul cotangent este limitat la un snop pe U , care este de asemenea universal. Prin urmare, acesta este snop asociat cu modulul diferenţialelor Kähler pentru inelele corespunzătoare lui U şi V . $f\coloan X\la Y$ $\mathcal{I}$ $X\times _{Y}X$ $\Omega _{X/Y}={\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}$ $d\colon {\mathcal {O}}_{X}\la \Omega _{X/Y}$ $f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}$ ${\mathcal {O}}_{X}$

Similar cazului comutativ-algebric, există secvențe exacte asociate cu morfismele de schemă. Dacă sunt date morfisme ale schemelor și , atunci există o secvență exactă de snopi pe $f:X\la Y$ $g:Y\la Z$ $X$

f^{*}\Omega _{Y/Z}\la \Omega _{X/Z}\la \Omega _{X/Y}\la 0

De asemenea, dacă este o subschemă închisă dată de un snop de idealuri , atunci există o succesiune exactă de snopi $Z\subset X$ $\mathcal{I}$

{\frac {\mathcal {I}}({\mathcal {I}}^{2}}}\la \Omega _{X/Y}\otimes {\mathcal {O}}_{Z} \to \Omega _{Z/Y}\to 0

pe $Z$

Note

↑ Hartshorne, 1981 , p. 225.

Literatură

Hartshorne R. Geometrie algebrică / transl. din engleza. V. A. Iskovskikh. — M .: Mir, 1981.