Integrală diferențială Grunwald-Letnikov

În matematică , integrala diferențială Grunwald–Letnikov este una dintre principalele generalizări ale derivatei în calculul fracționar , care permite ca derivatele să fie luate de un număr neîntreg de ori. A fost introdus de Anton Karl Grunwald în 1867 și A. V. Letnikov în 1868.

Construcția integralei diferențiale Grunwald-Letnikov

Formula pentru derivat

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

poate fi aplicat recursiv pentru a obține derivate de ordin superior. De exemplu, pentru derivata de ordinul doi obținem:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\to 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2} })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\la 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Presupunând că toate incrementele tind spre zero în același mod, această expresie poate fi simplificată: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

care poate fi riguros justificat prin intermediul formulei de increment finit . În general, avem (vezi coeficienții binomiali ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\alegeți m}f(x+(nm)h).

În mod formal, eliminând restricția care este un număr pozitiv, este firesc să definiți: $n$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\ infty }(-1)^{m}{q \alegeți m}f(x+(qm)h).

Aceasta este definiția integralei diferențiale Grunwald-Letnikov.

O altă intrare

Definiția poate fi, de asemenea, rescrisă mai simplu prin introducerea notației:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum _{0\leqslant m<\infty }(-1)^{m}{q \choose m}f(x+(qm) h).

Atunci definiția ia forma:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Link -uri

Oldham, K. și Spanier, J. The Fractional Calculus - Editura: Academic Press, 1974. - 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0 .