Coeficient binomial

Coeficientul binom este coeficientul din fața termenului în expansiunea binomului Newton în puteri de . Coeficientul la este notat sau și se citește „coeficient binomial de la cu ” (sau „număr de combinații de la cu ”): $(1+x)^{n}$ $X$ $x^{k}$ $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $\textstyle C_n^k$ $n$ $k$ $n$ $k$

(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2} +\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}

pentru puterile naturale . $n$

Coeficienții binomi pot fi definiți și pentru exponenți reali arbitrari . În cazul unui număr real arbitrar, coeficienții binomii sunt definiți ca coeficienții expansiunii unei expresii într-o serie infinită de puteri : $n$ $n$ $(1+x)^{n}$

(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k))x^{k)

unde, în cazul numerelor întregi nenegative , toți coeficienții lui at dispar și, prin urmare, această expansiune este o sumă finită. $n$ $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $k>n$

În combinatorică , coeficientul binomial pentru numere întregi nenegative și este interpretat ca numărul de combinații ale lui by , adică ca numărul tuturor (nestrict) submulțimi ( eșantioane ) de dimensiune dintr-o mulțime de elemente . $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $n$ $k$ $n$ $k$ $k$ $n$

Coeficienții binomii apar adesea în probleme de combinatorie și teoria probabilităților . O generalizare a coeficienților binomiali sunt coeficienții multinomiali .

Formule explicite

Prin calcularea coeficienților în expansiunea seriei de puteri, se pot obține formule explicite pentru coeficienții binomi . $(1+x)^{n}$ $\textstyle {\binom {n}{k)}$

Pentru toate numerele reale și întregi : $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{ k!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

unde denotă factorialul de . $k!$ $k$

Pentru numerele întregi nenegative și formulele sunt, de asemenea, valabile: $n$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{cases}{\frac {n!}{k!(nk)!}}),&0\leqslant k\leqslant n\\0,&k > n\end{cazuri}}

Pentru exponenții întregi negativi, coeficienții de expansiune binomială sunt: $(1+x)^{-n}$

{\binom {-n}{k}}={\begin{cases}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n- 1)!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{cases}}

Triunghiul lui Pascal

Identitate:

{n \alege k}={n-1 \alege k-1}+{n-1 \alege k}

vă permite să aranjați coeficienții binomi pentru numere întregi nenegative , sub forma triunghiului lui Pascal, în care fiecare număr este egal cu suma a două numere mai mari: $n$ $k$

{\begin{matrix}n=0:&&&&&1&&&&\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&&6&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&&6&&\vdots&\\vdots&\ \vdots &&\vdots &\end{matrice}}

Tabelul triunghiular propus de Pascal în Tratatul său despre triunghiul aritmetic (1654) diferă de cel scris aici printr-o rotație de 45°. Tabelele pentru afișarea coeficienților binomii erau cunoscute înainte ( Tartaglia , Omar Khayyam ).

Dacă în fiecare linie a triunghiului lui Pascal toate numerele sunt împărțite la (aceasta este suma tuturor numerelor din linie ), atunci toate liniile, pe măsură ce merg la infinit, vor lua forma unei funcții de distribuție normală . $2^{n}$ $n$

Proprietăți

Generarea funcțiilor

Pentru o valoare fixă , funcția generatoare a șirului de coeficienți binomi este: $n$ ${\tbinom {n}{0)),\;{\tbinom {n}{1)),\;{\tbinom {n}{2)),\dots$

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}

Pentru o valoare fixă , funcția generatoare a secvenței de coeficienți este: $k$ ${\tbinom {0}{k)),\;{\tbinom {1}{k)),\;{\tbinom {2}{k)),\dots$

\sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}

Funcția de generare bidimensională a coeficienților binomi pentru numere întregi este: $\tbinom{n}{k}$ $n,k$

\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}

, sau .

\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={ \frac {1}{1-y-xy}}

Divizibilitate

Din teorema lui Luke rezultă că:

coeficientul este impar în notația binară a numărului, unitățile nu stau în acele cifre în care există zerouri în număr; $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $\iff$ $k$ $n$
coeficientul nu este un multiplu al unui număr prim în reprezentarea -ară a numărului , toți biții nu depășesc biții corespunzători numărului ; $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $p$ $\iff$ $p$ $k$ $n$
într-o succesiune de coeficienți binomi : $\textstyle {\binom {n}{0)),\;{\binom {n}{1)),\;\ldots ,\;{\binom {n}{n)}$
- toate numerele nu sunt multipli ai unui număr prim dat pot fi reprezentate ca , unde este un număr natural ; $p$ $\iff$ $n$ $mp^{k}-1$ $m<p$
- toate numerele, cu excepția primului și ultimului, sunt multipli ai primului dat ; $p$ $\iff$ $n=p^{k}$
- numărul de numere impare este egal cu puterea a doi, al căror exponent este egal cu numărul de unități din notația binară a numărului ; $n$
- numerele pare și impare nu pot fi egale;
- numărul de numere care nu sunt multipli ai unui prim este egal cu , unde numerele sunt cifrele notației -ariale a numărului ; iar numărul , unde este funcția sex , este lungimea înregistrării date. $p$ $(a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)$ $a_{1},\;\ldots,a_{m)$ $p$ $n$ $\textstyle m=\lfloor \log _{p}{n}\rfloor +1$ $\lfloor\cdot\rfloor$

Identități de bază

${n \alege k}={n-1 \alege k-1}+{n-1 \alege k}$ .
${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}$ .
${n \alegeți k}={n \alegeți nk}$ (regula de simetrie).
${n \alege k}={\frac {n}{k}}{n-1 \alege k-1}$ (bracketing).
${n \alegeți {\color {Verde}m}}{{\color {Verde}m} \alegeți n-{\color {Verde}k}}={n \alegeți {\color {Verde}k }}{{\culoare {Verde}k} \alegeți n-{\culoare {Verde}m}}$ (înlocuirea indicilor).
$(nk){n \alegeți k}=n{n-1 \alegeți k)$ .

Binomul lui Newton și consecințele

${n \alegeți 0}+{n \alegeți 1}+\ldots +{n \alegeți n}=2^{n)$ , unde . $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{cases}{\ binom {n}{m/2)),&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2)),\\0,&{\text{if}}\ m\equiv 1{ \pmod {2}}.\end{cases}}$
$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$ .
${n \alegeți 0}-{n \alegeți 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \alegeți n}=0$ , unde . $n\in \mathbb {N}$
O identitate mai puternică: , unde . ${n \choose 0}+{n \choose 2}+\ldots +{n \choose 2\lfloor n/2\rfloor }=2^{n-1)$ $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{{k=-a}}^{{a}}(-1)^{{k}}{2a \alege k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{ (a!)^{3}}}$ ,

dar mai general

\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \alegeți a+k}{b+c \alegeți b+k}{c+a \alegeți c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}

Convoluția și consecințele Vandermonde

Convoluția lui Vandermonde :

\sum _{k}{r \alegeți m+k}{s \alegeți nk}={r+s \alegeți m+n)

unde un . Această identitate se obţine prin calcularea coeficientului at în expansiune , luând în considerare identitatea . Suma este preluată peste toate numerele întregi pentru care . Pentru numere reale arbitrare , numărul de termeni nenuli din sumă va fi finit. $m,n\in \mathbb {Z} ,$ $r,s\in \mathbb {R}$ $x^{m+n)$ ${\displaystyle (1+x)^{r}(1+x)^{s))$ ${\displaystyle (1+x)^{r+s}=(1+x)^{r}(1+x)^{s))$ $k$ $\textstyle {r \alegeți m+k}{s \alegeți nk}\neq 0$ $r$ $s$

Corolarul convoluției Vandermonde:

{n \alegeți 0}{a \alegeți a}-{n \alegeți 1}{a+1 \alegeți a}+\ldots +(-1)^{n}{n \alegeți n}{a+n \ alege a}=(-1)^{n}{a \alege n}

Identitate mai generală:

\sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p \alege i}\prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_ {m} \alege s_{m}}=0

daca .

\sum _{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p

O altă consecință a convoluției este următoarea identitate: . ${n \alegeți 0}^{2}+{n \alegeți 1}^{2}+\ldots +{n \alegeți n}^{2}={2n \alegeți n)$

Alte identități

${\frac {4}{n}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}{\binom {2n}{n+k}}=2^{2n}$ , unde este un număr natural. $n$
$\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{n \alegeți k}=\sum _{k=1}^ {n}{\frac {1}{k}}=H_{n}$ - al-lea număr armonic . $n$
Secțiunea multiplă a seriei oferă o identitate care exprimă suma coeficienților binomi cu un pas arbitrar și decalaj ca o sumă finită de termeni: $(1+x)^{n}$ $s$ $t$ $(0\leqslant t<s)$ $s$

{\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{ s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}

Există și egalități:

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{3}}&={\frac {n(n-1)(n-2)}{\color {Verde}2}}- \sum _{i=2}^{n-1}{(ni)(n-i+1)}=\\&=n(n-1)(n-2)-\sum _{i=2 }^{n-1}{(ni)({\color {Verde}2}n-i+1)}=\\&=3{\binom {n}{3}}-2{\binom {n }{3}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{4}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color {Verde }2}}-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2} i_{0}\right)}=\\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left ({\color {Verde}2}n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}=\\&=24{\binom {n}{4}}-23{\binom {n}{4}};\\\end{alignedat}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{5}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} {\color {Verde}2}}-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)(n-2)-\sum _ {i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}\right)}=\\&=n(n-1 )(n-2)(n-3)(n-4)-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left({\color {Verde}2} n(n-1)(n-2)-\sum _{i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1 }\right)}=\\&=120{\binom {n}{5}}-119{\binom {n}{5}}.\end{alignedat}}

De unde vine:

{\binom {n}{3}}={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)(2n-i+1))){2} }={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{1}-{\binom {i-1}{1)) \right)}}{2}};

{\binom {n}{4}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(2n(n-1)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}}{23}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1 }{(ni)\left(2A_{n}^{2}-{\binom {i-1}{2}}\right)}}{23}};

{\begin{alignedat}{2}&{\binom {n}{5}}={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left (2n(n-1)(n-2)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-3}\sum \limits _{i_{1}=1}^{i_{0 }}i_{1}\right)}}{119}}=\\&={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n }^{3}-{\binom {i-1}{3}}\right)}}{119}};\\\end{alignedat}}

{\binom {n}{k}}={\frac {\sum \limits _{i=k-1}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{k -2}-{\binom {i-1}{k-2}}\right)}}{k!-1}}

unde este numărul de plasări de la până la . $A_{n}^{k}$ $n$ $k$

Relații matrice

Dacă luăm o matrice pătrată, numărând elementele de-a lungul catetelor triunghiului lui Pascal și rotind matricea cu oricare dintre cele patru colțuri, atunci determinantul acestor patru matrici este ±1 pentru orice , iar determinantul matricei cu vârful lui triunghiul din colțul din stânga sus este 1. $N$ $N$

În matrice , numerele de pe diagonală repetă numerele de rânduri ale triunghiului lui Pascal ( ). Se poate descompune într-un produs din două matrici strict diagonale: cea triunghiulară inferioară și cea obținută din aceasta prin transpunere: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $i+j=\mathrm {Const}$ $i,j=0,1,\dots$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T}

unde . Matricea inversă k are forma: $U={\begin{bmatrix}{\tbinom {i}{j}}\end{bmatrix}}$ $U$

U^{-1}={\begin{bmatrix}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatrix}}

Astfel, este posibil să descompunem matricea inversă k într-un produs din două matrice strict diagonale: prima matrice este triunghiulară superioară, iar a doua este obținută din prima prin transpunere, ceea ce ne permite să dăm o expresie explicită pentru elemente inverse: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{m+n}}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}

, unde , , , .

i

j

m

n=0\dots p

Elementele unei matrice inverse se modifică atunci când dimensiunea acesteia se modifică și, spre deosebire de o matrice , nu este suficient să atribuiți un nou rând și coloană. Coloana matricei este un polinom de grad în argument , prin urmare, primele p coloane formează o bază completă în spațiul vectorilor de lungime +1, ale căror coordonate pot fi interpolate printr-un polinom de grad egal sau mai mic . Rândul de jos al matricei este ortogonal cu orice astfel de vector. ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ $i$ $p$ $p-1$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=\sum _{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{{p+n} }{\binom {p}{n}}

\sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {p}{n}}{P}_{{a}}(n) =0

pentru , unde este un polinom de grad .

a<p

{Tigaie)

A

Dacă un vector de lungime arbitrară poate fi interpolat printr-un polinom de grad , atunci produsul punctual cu rânduri (numerotate de la 0) al matricei este zero. Folosind identitatea de mai sus și unitatea produsului punctual al rândului de jos al matricei și ultimei coloane a matricei , obținem: $p+1$ $i<p$ $i+1,i+2,\dots ,p$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!

Pentru un exponent mai mare , puteți seta formula recursivă: $p$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P} _{2a}(p)={f}_{a}(p)

unde este polinomul

{P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad { P}_{0}(p)=1

Pentru a dovedi, mai întâi stabilim o identitate:

{f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{ax}(p )

Dacă trebuie să găsiți o formulă pentru nu toți exponenții, atunci:

{P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1 }(p);\quad a>0

Cel mai mare coeficient este 1, va fi nevoie de valori a-1 pentru a găsi ceilalți coeficienți: ${Q}_{{a-1}}(p)$

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p)

pentru .

a\equiv 1{\pmod {2});a\geqslant 3

Asimptotice și estimări

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}$ .
$\sum _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^ {{n-3}}$ la ( inegalitatea lui Cebyshev ). $m<{\frac {n}{2))$
$\sum \limits _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{{nH({\frac {m}{n}})))}$ , la ( estimarea entropiei ), unde este entropia . $m\leq {\frac {n}{2}}$ $H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)$
$\sum _{{k=0}}^{{n/2-\lambda }}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{{-2\lambda ^{2} /n}}$ ( Inegalitatea lui Cernov ).

Rezultă direct din formula lui Stirling că pentru este adevărat . $\alpha \in(0;1)$ $C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n))))\left({{\frac {1} }{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n} }=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )))}}+o(1)}\dreapta) ^{{n}}$

Polinoame întregi

Coeficienții binomi , ... sunt polinoame întregi ale lui , adică iau valori întregi pentru valorile întregi ale lui , - acest lucru este ușor de înțeles, de exemplu, din triunghiul lui Pascal. Mai mult, ele formează o bază de polinoame cu valori întregi, în care toate polinoamele cu valori întregi sunt exprimate ca combinații liniare cu coeficienți întregi. [unu] ${\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}} {2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $X$ $X$

În același timp, baza standard , … nu permite exprimarea tuturor polinoamelor întregi dacă sunt utilizați numai coeficienți întregi, deoarece are deja coeficienți fracționali la puteri de . $1,x,x^{2)$ ${\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $X$

Acest rezultat se generalizează la polinoame în multe variabile. Și anume, dacă un polinom de grad are coeficienți reali și ia valori întregi pentru valorile întregi ale variabilelor, atunci $R(x_1, \dots, x_m)$ $k$

R(x_{1},\dots,x_{m})=P\left({\binom {x_{1}}{1}},\dots,{\binom {x_{1}}{ k)),\dots ,{\binom {x_{m}}{1)),\dots ,{\binom {x_{m}}{k}}\right)

unde este un polinom cu coeficienți întregi. [2] $P$

Algoritmi de calcul

Coeficienții binomi pot fi calculați folosind formula recursivă dacă valorile pentru sunt stocate la fiecare pas . Acest algoritm este eficient în special dacă trebuie să obțineți toate valorile pentru un fix . Algoritmul necesită memorie ( la calcularea întregului tabel de coeficienți binomiali) și timp (presupunând că fiecare număr ocupă o unitate de memorie și operațiuni cu numere sunt efectuate pe unitatea de timp), unde — « » este mare . ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$ $n$ $\tbinom{n}{k}$ $k={\overline {0,1,\;\ldots ,n))$ $\tbinom{n}{k}$ $n$ $Pe)$ $O(n^{2})$ $O(n^{2})$ $O$ $o$

Cu o valoare fixă , coeficienții binomi pot fi calculați printr-o formulă recursivă cu o valoare inițială de . Această metodă necesită memorie și timp pentru a calcula valoarea . $k$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{nk}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}$ ${\tbinom {k}{k}}=1$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $Pe)$

Dacă doriți să calculați coeficienții pentru o valoare fixă , puteți utiliza formula pentru condiția inițială . La fiecare pas de iterație, numărătorul este redus cu (valoarea inițială este ), iar numitorul este mărit corespunzător cu (valoarea inițială este ). Această metodă necesită memorie și timp pentru a calcula valoarea . $\tbinom{n}{k}$ $n$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}$ ${\tbinom {n}{0}}=1$ $unu$ $n$ $unu$ $unu$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $O.K)$

Note

↑ Prasolov V. V. Capitolul 12. Polinoame cu valori întregi // Polinoame . — M .: MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
↑ Iu. Matiyasevici. A zecea problemă a lui Hilbert. - Știință, 1993.

Literatură

Coeficienți binomi // Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Efron : în 86 de volume (82 de volume și 4 suplimentare). - Sankt Petersburg. , 1890-1907.
Fuks D., Fuks M. Aritmetica coeficienților binomi // Kvant . - 1970. - Nr 6 . - S. 17-25 .
Kuzmin OV Triunghiul și piramida lui Pascal: proprietăți și generalizări // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr 5 . - S. 101-109 .
Lando S. K. Shadow calculus // VIII Şcoala de vară „Matematică modernă”. — Dubna, 2008.
Vinberg E. B. Proprietăți aritmetice surprinzătoare ale coeficienților binomi // Educație matematică . - 2008. - Emisiune. 12 . — p. 33–42 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . matematică concretă. Fundamentele matematice ale informaticii = Concrete Mathematics. O fundație pentru informatică. - al 2-lea. — M .: Mir ; Binom. Laborator de cunoștințe ; „Williams” , 1998-2009. - 703, 784 p. — ISBN 95-94774-560-7 , 78-5-8459-1588-7.