Problema Busemann-Petty

Problema Busemann-Petty este o problemă de geometrie convexă formulată de Busemann și Petty în 1956.

Este adevărat că un corp convex simetric cu secțiuni hiperplan centrale mai mari are un volum mai mare?

Răspunsul este pozitiv în dimensiuni și negativ în dimensiuni . $\leq 4$ $\ge 5$

Problema este renumită pentru faptul că în dimensiunea s-a dat la început un răspuns (greșit) negativ, iar după câțiva ani unul pozitiv. Mai mult, ambele articole au fost publicate de același autor într-una dintre cele mai prestigioase reviste de matematică, Annals of Mathematics . $patru$

Formulare

Fie și să fie corpuri convexe în spațiul euclidian -dimensional cu un centru de simetrie comun astfel încât $K_1$ $K_{2}$ $n$

\mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{1}\cap A)\leq \mathrm {Vol} _{n-1}\,(K_{2}\cap A)

pentru fiecare hiperplan care trece prin centrul de simetrie . Este adevarat ca $A$

\mathrm {Vol} _{n}\,K_{1}\leq \mathrm {Vol} _{n}\,K_{2}\ ?

Istorie

În dimensiunea 2 problema este banală, răspunsul este da.
1956 Busemann și Petty au arătat că răspunsul este da dacă primul corp este o minge.
1975 Larmen și Rogers au construit un contraexemplu în dimensiuni . $\geq 12$
1986, Keith Ball a demonstrat că luând un cub ca prim corp și o minge potrivită ca al doilea oferă un contraexemplu în dimensiuni . $\geq 10$
1988, Lutwak a arătat că răspunsul la o problemă într-o anumită dimensiune este pozitiv dacă și numai dacă toate corpurile convexe simetrice din acea dimensiune sunt corpuri de secțiune .
Giannopoulos și Burgen au construit independent contraexemple în dimensiuni . $\geq 7$
Papadimitrakis și Gardner au construit în mod independent contraexemple în dimensiunile 5 și 6.
1994 Gardner a dat un răspuns pozitiv în dimensionalitate . $3$
1994 Gaoyun Zhang a publicat o lucrare (în Annals of Mathematics ) în care a susținut parțial că răspunsul este negativ ca dimensiune. $patru$
1997 Alexander Koldobsky a respins afirmația lui Gaoyun Zhang.
1999 După ce a studiat rezultatele lui Koldobsky, Zhang a demonstrat rapid că, de fapt, răspunsul este da în dimensiune. Această lucrare ulterioară a fost publicată și în Annals of Mathematics. $patru$

Variații și generalizări

Teorema unicității lui Minkowski afirmă că dacă două corpuri convexe simetrice au secțiuni egale de orice hiperplan care trece prin centrul lor comun, atunci aceste două corpuri sunt egale.
Problema Shepard este o problemă similară în care, în loc de secțiuni, sunt luate în considerare proiecțiile pe toate hiperplanurile posibile .

Link -uri

Ball, Keith (1988), Some remarks on the geometry of convex sets , Geometric aspects of functional analysis (1986/87) , voi. 1317, Lecture Notes in Math., Berlin, New York: Springer-Verlag , p. 224–231, ISBN 978-3-540-19353-1 , DOI 10.1007/BFb0081743
Busemann, Herbert & Petty, Clinton Myers (1956), Problems on convex bodies , Mathematica Scandinavica vol. 4: 88–94, ISSN 0025-5521 , < http://www.mscand.dk/article/download/10457/8478 >
Gardner, Richard J. (1994), Un răspuns pozitiv la problema Busemann-Petty în trei dimensiuni , Analele matematicii. Seria a doua vol. 140 (2): 435–447, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118606
Gardner, Richard J.; Koldobsky, A. & Schlumprecht, T. (1999), O soluție analitică a problemei Busemann-Petty pe secțiuni de corpuri convexe , Analele matematicii. Seria a doua vol . 149(2): 691–703, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120978
Koldobsky, Alexander (1998a), Corpuri de intersecție, distribuții definite pozitive și problema Busemann-Petty , American Journal of Mathematics vol. 120 (4): 827–840, ISSN 0002-9327 , doi : 10.1353/ajm.1998 , < 0303. http://muse.jhu.edu/journals/american_journal_of_mathematics/v120/120.4koldobsky.pdf >
Koldobsky, Alexander (1998b), Corpuri de intersecție în R⁴ , Advances in Mathematics vol . 136 (1): 1–14, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1006/aima.1998.1718
Koldobsky, Alexander (2005), Analiza Fourier în geometrie convexă , voi. 116, Mathematical Surveys and Monografii, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-3787-0 , < https://books.google.com/books?id=UU25A67LVe0C >
Larman, DG & Rogers, CA (1975), Existența unui corp convex simetric central cu secțiuni centrale care sunt neașteptat de mici , Mathematika. A Journal of Pure and Applied Mathematics vol. 22 (2): 164–175, ISSN 0025-5793 , DOI 10.1112/S0025579300006033
Lutwak, Erwin (1988), Intersection bodies and dual mixed volumes , Advances in Mathematics vol. 71 (2): 232–261, ISSN 0001-8708 , DOI 10.1016/0001-8708(88)90077-1
Zhang, Gao Yong (1994), Corpurile de intersecție și inegalitățile Busemann-Petty în R⁴ , Analele matematicii. Seria a doua vol. 140 (2): 331–346, Rezultatul din această lucrare este greșit; vezi corectarea autorului din 1999., ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/2118603
Zhang, Gaoyong (1999), O soluție pozitivă la problema Busemann-Petty în R⁴ , Analele matematicii. Seria a doua vol. 149 (2): 535–543, ISSN 0003-486X , DOI 10.2307/120974