Provocarea lui Shepard

Problema lui Shepard este o chestiune de geometrie convexă despre compararea volumelor a două corpuri convexe simetrice, cu condiția ca în orice direcție aria de proiecție a primului să nu depășească aria de proiecție a celui de-al doilea.

Întrebarea a fost formulată de Jeffrey Shepard în 1964.

Răspunsul la această întrebare este „da” în dimensiunea 2 și „nu” în dimensiunea 3 și mai sus. Acesta din urmă a fost dovedit independent de Petty și Schneider în 1967.

Formulare

Fie și două corpuri convexe simetrice central în spațiu euclidian dimensional . Să presupunem că aria proiecției ortogonale pe un hiperplan arbitrar nu depășește aria proiecției ortogonale pe . Este adevarat ca volumul nu depaseste volumul ? $K$ $L$ $n$ $K$ $\Pi$ $L$ $\Pi$ $K$ $L$

Vezi și

Problema Busemann-Petty

Link -uri

Petty, CM Corpuri de proiecție (nedefinite) // Proc. Colocviu despre convexitate (Copenhaga, 1965). — Kobenhavns Univ. Mat. Inst., Copenhaga, 1967, p. 234-241 .
Schneider, Rolf. Zur einem Problem von Shephard über die Projektionen konvexer Körper (germană) // Math. Z.. - 1967. - T. 101 . - S. 71-82 . - doi : 10.1007/BF01135693 .
Shephard, G. C. (1964), Shadow systems of convex sets , Israel Journal of Mathematics vol. 2: 229–236, ISSN 0021-2172 , DOI 10.1007/BF02759738