Problema cu aruncarea acului lui Buffon

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 12 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Problema aruncării acului lui Buffon este unul dintre primele exemple de aplicare a metodei Monte Carlo și luarea în considerare a conceptului de probabilitate geometrică . Problema a fost formulată de Buffon în 1777 . S-a dovedit că această problemă a făcut posibilă determinarea numărului π prin metode probabilistice.

Esența problemei

Esența metodei a fost de a arunca un ac lung pe un plan trasat de linii drepte paralele situate la distanță unele de altele (vezi Fig. 1). $L$ $r$

Probabilitatea (după cum se poate vedea din contextul ulterioară, nu vorbim despre probabilitate, ci despre așteptarea matematică a numărului de intersecții dintr-o experiență; aceasta devine probabilitate doar cu condiția ca ) ca segmentul să intersecteze o linie dreaptă , este legat de numărul Pi: $r>L$

$p=\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\int \limits _{{0}}^{{l\sin {\theta }}}{\frac {1}{r\ pi }}dAd\theta$ , Unde

$A$ - distanta de la inceputul acului pana la linia dreapta cea mai apropiata de acesta;
$\theta$ - unghiul acului fata de liniile drepte.

Cu condiția să se obțină soluția: . Astfel, numărând proporția de segmente care intersectează linii drepte, putem determina aproximativ numărul Pi. Pe măsură ce numărul de încercări crește, acuratețea rezultatului va crește. $r>L$ $p={\frac {2L}{r\pi \,}}$

În 1864, căpitanul Fox, recuperându-se după o rană, pentru a se ocupa cumva, a pus în aplicare un experiment de aruncare a acului [1] . Rezultatele sunt prezentate în următorul tabel: [2]

	Numărul de aruncări	Numărul de intersecții	Lungimea acului	Distanța dintre liniile drepte	Rotație	Valoarea Pi	Eroare
Prima încercare	500	236	3	patru	dispărut	3,1780	−0,03640734
A doua încercare	530	253	3	patru	prezent	3,1423	−0,00070734
A treia încercare	590	939	5	2	prezent	3,1416	+0,00000734

Comentarii:

Rotația plană a fost aplicată [2] (și, după cum arată rezultatele, cu succes) pentru a reduce eroarea sistematică .
În a treia încercare, lungimea acului a fost mai mare decât distanța dintre linii, ceea ce a făcut posibilă, fără a crește numărul de aruncări, creșterea efectivă a numărului de evenimente și îmbunătățirea preciziei.

Variații și generalizări

Problema pastelor Buffon este o variantă a problemei pentru curbe. [3]

Formula Crofton

Note

↑ Math Surprises: An Example Arhivat 4 februarie 2012. (Engleză)
↑ 1 2 A.Sala. Pe o determinare experimentală a lui Pi // The Messenger of Mathematics. - 1872. - Vol. 2. - P. 113-114.
↑ Ramaley, JF (1969). „Problema cu tăițeii lui Buffon” (PDF) . The American Mathematical Monthly . Asociația de matematică din America. 76 (8, octombrie 1969): 916-918. DOI : 10.2307/2317945 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2317945 . Arhivat din original (PDF) pe 2020-01-14 . Consultat 2020-11-23 . Parametrul depreciat folosit |deadlink=( ajutor )

Literatură

Fedotov NG Metode de geometrie stocastică în recunoașterea modelelor. - M . : Radio și comunicare, 1990. - 142 p.