Formula Crofton

Formula lui Crofton este un rezultat clasic al geometriei integrale. Asociază lungimea unei curbe cu numărul mediu de intersecții de linii.

Numit după Morgan Crofton .

Formulare

Fie o curbă plană rectificabilă . Pentru o linie dreaptă , notați cu numărul de puncte în care și se intersectează. Putem parametriza liniile orientate printr -un unghi față de o direcție aleasă și o distanță semnată de la origine . Atunci lungimea curbei este $\gamma$ $l$ $n_{\gamma }(l)$ $\gamma$ $l$ $l$ $\varphi$ $p$ $\gamma$

L={\frac {1}{4}}\int \limits _{0}^{2\cdot \pi }d\varphi \cdot \int \limits _{-\infty }^{\infty }n_{\gamma }(\varphi ,p)\cdot dp.

Note

Forma diferențială $d\varphi \wedge dp$

este invariant sub mișcări plane. Astfel, oferă o măsură naturală pentru integrare.

Formula lui Crofton este echivalentă cu următoarea afirmație: Lungimea unei curbe este direct proporțională cu lungimea medie a proiecțiilor sale ortogonale. În acest caz, lungimea proiecției este calculată luând în considerare multiplicitatea.

Aplicații

Formula lui Crofton dă dovada următoarelor rezultate:

Dacă o curbă plană închisă ocolește o curbă convexă, atunci această curbă convexă are o lungime mai mică.
Teorema lui Barbier : O curbă de lățime constantă are un perimetru . $A$ $\pi \cdot a$
Inegalități izoperimetrice : Printre curbele închise cu un perimetru dat, un cerc are aria maximă.
Dacă o curbă sferică are o lungime mai mică decât , atunci se află într-o emisferă deschisă. Această afirmație este cheia pentru demonstrarea teoremei de întoarcere a curbei lui Fenchel . $2{\cdot}\pi$

Variații și generalizări

Problema cu aruncarea acului lui Buffon

Formula lui Crofton se generalizează la orice suprafață Riemann ; integrarea foloseşte măsura naturală pe spaţiul geodezicilor de lungime fixă.
- De exemplu, lungimea unei curbe pe sfera unității este , unde denotă numărul mediu de intersecții ale curbei cu cercurile mari. $\pi \cdot n$ $n$

Transformarea radonului poate fi privită ca o generalizare a formulei Crofton în teoria măsurării.
Formula Santalo

Literatură

Tabachnikov, Serge Geometrie și Biliard . - AMS, 2005. - P. 36 -40. - ISBN 0-8218-3919-5 .
Santalo , L.A. Introducere în geometria integrală . - 1953. - P. 12-13, 54.
Cursul 19 la Tabachnikov S.L. Fuks D.B. Divertisment matematic . - MTSNMO, 2011. - 512 p. - 2000 de exemplare. - ISBN 978-5-94057-731-7 .