Sarcina lui Napoleon

Problema lui Napoleon este celebra problemă a construcției busolei . În această problemă , sunt date un cerc și centrul său. Problema este de a împărți cercul în patru arce egale folosind doar o busolă . Napoleon a fost un matematician celebru, dar nu se știe dacă a inventat sau a rezolvat această problemă. Prietenul lui Napoleon, matematicianul italian Lorenzo Mascheroni , a venit cu o restricție privind utilizarea numai a busolei (nu a riglă) în construcțiile geometrice. Dar, de fapt, problema de mai sus este mai simplă decât adevărata problemă napoleonică de a găsi centrul unui cerc folosind doar o busolă. Mai jos este rezolvarea ambelor probleme și sunt date dovezile.

Cartea lui Georg Mohr din 1672 „Euclides Danicus” a anticipat ideea lui Mascheroni, dar nu a fost descoperită decât în 1928.

Găsirea centrului unui cerc dat

Clădire

Fie dat un cerc C , al cărui centru ar trebui găsit. Luați orice punct A pe C.

Cercul C 1 centrat pe A (de orice rază, vezi nota de mai jos) intersectează C în punctele B și B' .

Două cercuri C 2 cu centrele B și B' și cu raze AB se intersectează în punctul C .

Cercul C 3 cu centrul în punctul C și raza AC intersectează C 1 în punctele D și D' .

Două cercuri C 4 centrate în punctele D și D' și cu aceeași rază AD se intersectează în punctele A și O , centrul dorit al cercului C .

Notă: Pentru ca construcția să funcționeze, raza cercului C 1 nu trebuie să fie nici prea mică, nici prea mare. Mai precis, această rază ar trebui să fie undeva între jumătate din raza cercului C și diametrul acestuia. Dacă raza este mai mare decât diametrul C , C 1 nu va intersecta C . Dacă raza C 1 este mai mică de jumătate din raza cercului C , punctul C va fi între A și O și C 3 nu se va intersecta cu C .

Dovada

Ideea construcției este de a găsi lungimea b²/a folosind o busolă, când lungimile lui a și b sunt cunoscute și în același timp a/2 ≤ b ≤ 2a.

În figura din dreapta este desenat un cerc cu raza a cu centrul în punctul O . Pe el este selectat un punct A și sunt trasate punctele B și B' , situate la o distanță b de A. Punctul A' se află vizavi de A , dar nu este necesar să-l construiți (ar fi necesară o riglă aici). În mod similar, să notăm un punct (imaginar) H la intersecția dintre AA' și BB' . Punctul C poate fi găsit din B și B' desenând cercuri cu raza b .

Triunghiul ABA' are un unghi drept în punctul B și segmentul de dreaptă BH este perpendicular pe AA' , deci:

{\frac {AH}{AB}}={\frac {AB}{AA'}}

Unde ajungem și . $AH={\frac {b^{2}}{2a}}$ $AC=b^{2}/a$

În versiunea de mai sus, această configurație are loc de două ori:

Punctele A , B și B' se află pe cercul C cu raza a
unu=r; AB , AB' , BC și B'C sunt egale cu b
unu= R, deci ; $AC={\frac {R^{2}}{r}}$
punctele A , D și D' se află pe un cerc cu centrul în punctul C și raza ; DA , D'A , DO și D'O sunt b $a_{2}={\frac {R^{2}}{r}}$
2= R , deci . $AO={\frac {R^{2}}{R^{2}/r}}=r$

Deci O este centrul cercului C.

Împărțirea unui cerc dat în patru arce egale

Să desenăm un arc centrat în orice punct X al cercului C care trece prin centrul O și care se intersectează cu C în punctele V și Y . Să facem același lucru cu punctul Y , obținem intersecțiile cercului C în punctele X și Z . Rețineți că segmentele OV, OX, OY, OZ, VX, XY și YZ au aceeași lungime, egală cu raza cercului C .

Acum să desenăm un arc centrat pe V care trece prin Y și un arc centrat pe Z care trece prin X , marcând punctul de intersecție al acestor arce cu un T. Rețineți că distanțele VY și XZ sunt egale cu raza cercului C . $\sqrt{3}$

Să desenăm un arc cu raza egală cu OT ( raza cercului C ) și centru în punctul Z , acesta va intersecta cercul C în punctele U și W . UVWZ este un pătrat și, prin urmare, arcele de cerc C UV, VW, WZ și ZU sunt egale între ele și sunt sferturi de cerc C . ${\sqrt {2}}$

Vezi și

Literatură

EU SI. Perelman. Matematică distractivă. - Moscova, Leningrad: Editura de Stat de Literatură Tehnică și Teoretică, 1950. (Diviziunea unui cerc în patru părți)
Ambele sarcini sunt date
Napoleon și sarcina lui (împărțirea unui cerc în patru părți)