Teorema lui Napoleon

Teorema lui Napoleon  este o afirmație a planimetriei euclidiene despre triunghiuri echilaterale:

Dacă un triunghi echilateral este construit pe fiecare parte a unui triunghi arbitrar , atunci triunghiul cu vârfurile în centrele triunghiurilor echilaterale este de asemenea echilateral.

Triunghiurile pot fi construite în interior (toate) - afirmația va rămâne valabilă.

Triunghiul astfel obtinut se numeste triunghi Napoleon (intern si extern).

Teorema este adesea atribuită lui Napoleon Bonaparte (1769-1821). Este posibil, totuși, să fi fost propus de W. Rutherford într-o publicație din 1825 în limba engleză.  Jurnalul doamnelor . [unu]

Dovezi

Această teoremă poate fi demonstrată în mai multe moduri. Una dintre ele folosește rotația și teorema lui Chall (3 rotații consecutive readuc planul la locul său). O metodă similară folosește o homotezie de rotație (când se folosesc 2 homoteții cu coeficienți egali, MN și LN intră într-un singur segment CZ). Alte metode sunt mai simple, dar și mai greoaie și mai complexe.

Centrul Napoleon

Vezi și punctele Napoleon .

Figura paragrafului se află la: http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/xsub17.gif Fie dat triunghiul ABC și fie D, E, F  puncte din figură pentru care triunghiuri DBC, CAE, ABF echilateral. Mai departe: G  este centrul triunghiului DBC , H  este centrul triunghiului CAE , I  este centrul triunghiului ABF . Apoi segmentele AG, BH, CI se intersectează într-un punct. Să notăm acest punct cu litera N. Acesta este așa-numitul prim punct Napoleon. Coordonatele triliniare pentru punctul N sunt: ​​csc(A + π/6): csc(B + π/6): csc(C + π/6). Dacă triunghiurile echilaterale DBC, CAE, ABF sunt construite nu în afara, ci în interiorul triunghiului dat ABC , atunci cele trei drepte AG, BH, CI se intersectează în al doilea punct Napoleon. Coordonatele sale triliniare sunt: ​​csc(A - π/6): csc(B - π/6): csc(C - π/6).

Notă

Primul și al doilea punct Napoleon din Encyclopedia of Triangle Centers a lui Clark Kimberling= http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ sunt cunoscute ca punctele X(17) și X(18).

Relația cu alte revendicări

Teorema lui Napoleon este generalizată în cazul triunghiurilor arbitrare după cum urmează:

Dacă triunghiurile similare de orice formă sunt construite pe laturile unui triunghi în exterior, astfel încât fiecare să fie rotit față de cel precedent și orice trei puncte corespunzătoare ale acestor triunghiuri sunt conectate, atunci triunghiul rezultat va fi similar cu aceste triunghiuri externe.

Omologul teoremei lui Napoleon pentru paralelograme este prima teoremă a lui Thébault .

Vezi și

Link -uri