Problema Riemann asupra decăderii unei discontinuități arbitrare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 27 martie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Problema Riemann a decăderii unei discontinuități arbitrare este problema construirii unei soluții analitice la ecuațiile nestaționare ale mecanicii continuumului , așa cum este aplicată la decăderea unei discontinuități arbitrare [1] . Complet rezolvat într-un cerc limitat de cazuri speciale - pentru ecuațiile de dinamică a gazelor a unui gaz ideal și câteva aproximări mai precise (așa-numitul gaz cu o ecuație de stare cu doi termeni ) și ecuații ale teoriei apei de mică adâncime . Soluția pentru ecuațiile dinamicii gazelor magnetice poate fi construită, aparent, până la necesitatea unei soluții numerice a unei ecuații diferențiale ordinare destul de complicate.

Montare

Problema unidimensională a dezintegrarii discontinuității este în curs de rezolvare - adică se presupune că înainte de momentul inițial de timp, două regiuni ale spațiului cu valori diferite ale parametrilor termodinamici (pentru dinamica gazelor, aceasta este densitatea, viteza, și presiunea gazului) au fost separate printr-un perete subțire, iar la momentul inițial de timp, peretele este îndepărtat. Este necesar să se construiască o soluție (adică dependența tuturor parametrilor termodinamici de timp și coordonate) pentru valori inițiale arbitrare ale variabilelor. $t=0$

Soluția la problema dezintegrarii unei discontinuități arbitrare este determinarea fluxului gaz-dinamic care are loc la . Cu alte cuvinte, vorbim despre rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuațiile dinamicii gazelor , în care condițiile inițiale sunt date sub forma unei discontinuități arbitrare descrise mai sus. $t>0$

Soluție

Se pare că pentru sistemele de ecuații scrise în formă divergentă, soluția va fi auto-similară .

Soluția se caută sub forma unui set de unde elementare, determinate de structura sistemului de ecuații. În special, pentru dinamica gazelor acestea sunt: unda de șoc, unda de rarefacție , discontinuitatea contactului . Să prezentăm soluția în formă explicită pentru cazul particular al unui gaz ideal în repaus cu exponent adiabatic . Fie în momentul inițial presiunea , densitatea și viteza să aibă forma: $\gamma$ $P$ $\rho$ $v$

	$x<0$	$x>0$
$v(x)$	$0$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$RELATII CU PUBLICUL}$

și - valul merge spre dreapta. Apoi la un moment arbitrar de timp soluția are forma $P_{L}>P_{R}$ $t$

	$x<-c_{L}t$	$-c_{L}t<x<(v_{2}-c_{2})t$	$(v_{2}-c_{2})t<x<v_{2}t$	$v_{2}t<x<Dt$	$x>dt$
	materie netulburată	val de rarefiere	Regiunea dintre frontul de undă de rarefacție și discontinuitatea contactului	Regiunea dintre discontinuitatea de contact și frontul undei de șoc	materie netulburată
$v(x)$	$0$	$\displaystyle v_{2}{\frac {x+c_{L}t}{(v_{2}-c_{2}+c_{L})t))$	$v_{2}$	$v_{2}$	$0$
$\rho (x)$	$\rho _{L}$	$\displaystyle \rho _{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{ \frac {2}{\gamma -1}}$	$\rho _{2}$	$\rho_{1}$	$\rho _{R}$
$P(x)$	$P_{L}$	$\displaystyle P_{L}\left(1-{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {v(x)}{c_{L}}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}$	$P_2$	$P_2$	$RELATII CU PUBLICUL}$

Aici , este viteza sunetului în mediul neperturbat din stânga, , , , sunt parametrii gazului și viteza sunetului dintre frontul undei de șoc și discontinuitatea de contact, , , sunt parametrii gazului dintre discontinuitatea de contact și unda de șoc, și este viteza undei de șoc. Acești cinci parametri sunt determinați dintr-un sistem neliniar de ecuații care corespund legilor conservării energiei, masei și impulsului: $c_{L}={\sqrt {\gamma P_{L}/\rho _{L}})$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho _{2}$ $c_{2}={\sqrt {\gamma P_{2}/\rho _{2)))$ $v_{2}$ $P_2$ $\rho_{1}$ $D$

\displaystyle \rho _{1}=\rho _{R}{\frac {D}{D-v_{2)))

\displaystyle D={\frac {P_{2}-P_{R}}{\rho _{R}v_{2}}}

\displaystyle P_{2}=P_{R}{\frac {(\gamma +1)\rho _{1}-(\gamma -1)\rho _{R}}{(\gamma +1 )\rho _{R}-(\gamma -1)\rho _{1}}}

\displaystyle {\frac {P_{L}}{\rho _{L}^{\gamma }}}={\frac {P_{2}}{\rho _{2}^{\gamma } }}

\displaystyle v_{2}={\frac {2}{\gamma -1}}\left(c_{L}-c_{2}\right)={\frac {2c_{L}}{\ gamma -1))\left(1-\left({\frac {\rho _{2)){\rho _{L))}\right)^{\frac {\gamma -1}{2)) \dreapta)

Primele trei ecuații corespund aici relațiilor Hugoniot pentru un gaz ideal [2] , a patra și a cincea - relațiilor din unda de rarefacție [3] .

Aplicație

Rezolvarea problemei Riemann își găsește aplicație în metodele numerice de rezolvare a problemelor nestaționare cu discontinuități mari. Metoda Godunov pentru rezolvarea sistemelor de ecuații nestaționare ale mecanicii continuumului se bazează pe soluția (exactă sau aproximativă) a problemei Riemann a dezintegrarii discontinuității .

Note

↑ Riemann, Bernard. über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite (Deutsch) // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften în Göttingen. - 1860. - T. 8 . - S. 43-66 . Arhivat din original pe 24 iulie 2020.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fizica undelor de șoc și a fenomenelor hidrodinamice la temperatură înaltă. - Moscova: Nauka , 1966. - S. 51. - 688 p.
↑ Zeldovich Ya. B., Raiser Yu. P. Fizica undelor de șoc și a fenomenelor hidrodinamice la temperatură înaltă. - Moscova: Nauka , 1966. - S. 41. - 688 p.