Decalaj arbitrar

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 iunie 2018; verificările necesită 2 modificări .

Discontinuitate arbitrară - un salt arbitrar în parametrii unui mediu continuu , adică o situație în care unii parametri ai stării mediului sunt setați la stânga unei anumite suprafețe (de exemplu, în dinamica gazelor - densitate , temperatură și viteză ) - ( ), iar la dreapta - altele ( ).În mișcare instabilă mediile suprafeței discontinuității nu rămân nemișcate, viteza lor poate să nu coincidă cu viteza mediului. $\rho _{1},T_{1},{\vec {v}}_{1}$ $\rho _{2},T_{2},{\vec {v}}_{2}$

O discontinuitate fizic arbitrară nu poate exista pentru un timp finit - aceasta ar necesita o încălcare a ecuațiilor dinamicii. Din acest motiv, dacă într-o anumită situație apare o stare descrisă de un decalaj arbitrar, ea începe imediat să se degradeze la apariția ei - vezi problema Riemann privind decăderea unui decalaj arbitrar . În acest caz, în funcție de mediul în care are loc fenomenul și de modul în care valorile variabilelor de stare de pe diferite părți ale discontinuității se corelează între ele, pot apărea diverse combinații de discontinuități normale și unde de rarefacție .

Condiții

Mai jos, parantezele pătrate indică diferența de valori pe diferite laturi ale suprafeței

Pe suprafețele de discontinuitate trebuie îndeplinite anumite relații:

Pe suprafața discontinuității trebuie să existe un flux continuu de materie. Fluxul de gaz printr-un element al suprafeței de fractură, pe unitate de suprafață, trebuie să fie aceeași ca mărime pe părțile opuse ale suprafeței de fractură, adică condiția $\stanga[\rho u_{x}\right]=0$ Direcția axei este aleasă să fie normală cu suprafața de discontinuitate. $X$
Trebuie să existe un flux continuu de energie, adică condiția trebuie îndeplinită $\left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right]=0$
Fluxul impulsului trebuie să fie continuu, forțele cu care gazele acționează una pe cealaltă pe ambele părți ale suprafeței de fractură trebuie să fie egale. Deoarece vectorul normal este îndreptat de-a lungul axei x, continuitatea componentei - a fluxului de impuls duce la condiția $X$ $\left[p+\rho u_{x}^{2}\right]=0$
- Continuitatea si -componenta da $z$ $y$
$\left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0$ și $\left[\rho u_{x}u_{z}\right]=0$

Ecuațiile de mai sus reprezintă sistemul complet de condiții la limită la suprafața discontinuității. Din acestea, se poate concluziona că există două tipuri de suprafețe de discontinuitate.

Discontinuități tangențiale

Nu există flux de material prin suprafața de fractură

{\begin{cases}\rho _{1}u_{1x}=\rho _{2}u_{2x}=0\\\rho _{1},\rho _{2}\neq 0 \end{cases}}\Rightarrow \qquad u_{1x}=u_{2x}=0\qquad \Rightarrow p_{1}=p_{2}

Astfel, componenta vitezei normale și presiunea gazului sunt continue pe suprafața de discontinuitate în acest caz. Vitezele tangențiale și densitatea pot experimenta un salt arbitrar. Astfel de discontinuități se numesc tangenţiale . $u_{z)$ $tu_{y}$

Discontinuitățile de contact sunt un caz special de discontinuități tangențiale. Viteza este continuă. Densitatea experimentează un salt și, odată cu ea, alte mărimi termodinamice , cu excepția presiunii.

Unde de șoc

În cel de-al doilea caz, fluxul de materie, și odată cu acesta și cantitățile, sunt nenule. Apoi din condiții:

\left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x}u_{y}\right]=0;\qquad \left[\rho u_{x} u_{z}\right]=0

avem:

\left[u_{y}\right]=0\quad

și

\quad \left[u_{z}\right]=0

viteza tangentiala este continua la suprafata de discontinuitate. Densitatea, presiunea și, odată cu ele, alte mărimi termodinamice experimentează un salt, iar salturile acestor mărimi sunt legate prin relații - condițiile de discontinuitate.

Din

\left[\rho u_{x}\left({\frac {u^{2}}{2}}+\varepsilon \right)\right];

\left[u_{y}\right]=0;

\left[u_{z}\right]=0

primim

\left[\rho u_{x}\right]=0;\qquad \left[{\frac {u_{x}^{2}}{2}}+\varepsilon \right]=0;\ qquad \left[p+\rho u_{x}^{2}\right]=0

Discontinuitățile de acest tip se numesc unde de șoc .

Viteza de propagare a decalajului

Pentru a deriva relații pe discontinuități în mișcare, se pot folosi ecuațiile

{\begin{cases}{\begin{array}{lll}\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho \;d\,x-\rho u\;d\,t)&= &0\\\oint \limits _{{\partial \Omega }}(\rho u\;d\,x-(p+\rho u^{2})\;d\,t)&=&0\\\ oint \limits _{{\partial \Omega }}(E\;d\,xu(p+E)\;d\,t)&=&0\\\end{array}}\end{cases}}

obtinut prin metoda Godunov . Si ea:

\oint \limits _{\partial \Omega}(qdx-fdt)=0

Discontinuitatea gaz-dinamică în cazul nestaționar unidimensional este geometric o curbă într-un plan. Să construim un volum de control în apropierea discontinuității, astfel încât două laturi ale conturului care înconjoară acest volum să fie paralele cu discontinuitatea de pe ambele părți ale discontinuității, iar celelalte două laturi să fie perpendiculare pe discontinuitate. Scriind sistemul pentru un volum de control dat, apoi contractând laturile la zero și neglijând valoarea integralei pe aceste laturi, obținem, ținând cont de direcția ocolirii conturului și de semnele incrementelor de coordonate și de-a lungul laturilor adiacent discontinuității:

\int \limits _{1-2}(qdx-fdt)-\int \limits _{3-4}(qdx-fdt)=0

Mijloace

\int \limits _{1-2}(q{\frac {dx}{dt}}-f)-\int \limits _{3-4}(q{\frac {dx}{dt} }-f)=0

Valoarea este rata de propagare a decalajului $D={\frac {dx}{dt)}$

Ratele la discontinuitate

Trecând la aproximări ale integralelor prin metoda dreptunghiurilor și folosind notația pentru salturi de valori la discontinuitate, obținem sistemul de relații:

\left[\rho \right]D-\left[\rho u\right]=0;

\left[\rho u\right]D-\left[p+\rho u^{2}\right]=0;

\left[E\right]D-\left[u(E+p)\right]=0;

Exemple

Limita dintre două corpuri care se ciocnesc în momentul impactului, ulterior, din cauza instabilității, o discontinuitate arbitrară se împarte în două discontinuități normale care se deplasează în direcții opuse.