Problema lui Thomson

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 30 martie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Scopul problemei lui Thomson este de a determina configurația minimă a energiei potențiale totale a unei sarcini electrostatice pentru N electroni , mărginiți de suprafața unei sfere unitare, care sunt respinși unul de celălalt de forța dată de legea lui Coulomb . Fizicianul J. J. Thomson a ridicat problema în 1904 după ce a propus un model al atomului, numit mai târziu modelul budincii , bazat pe cunoștințele sale despre existența electronilor încărcați negativ în atomii încărcați neutru.

Problemele înrudite includ studierea geometriei configurației minime de energie și studierea comportării energiei minime N la N mare .

Formulare matematică

Sistemul fizic încorporat în problema Thomson este un caz special al uneia dintre cele optsprezece probleme matematice nerezolvate propuse de matematicianul Steven Smale - „Distribuția punctelor pe o sferă”. Soluția fiecărei probleme de N electroni se obține atunci când configurația N electroni mărginiți de suprafața unei sfere de rază unitară, r = 1, dă minimul global al energiei potențiale electrostatice U(N)

Energia interacțiunii electrostatice care are loc între fiecare pereche de electroni cu sarcini egale ( , sarcina elementară a unui electron) este determinată de legea lui Coulomb, $e_{i}=e_{j}=e$

${\displaystyle {U_{ij}(N)=k_{e}{e_{i}e_{j} \over r_{ij))).))$

aici este constanta Coulomb și distanța dintre fiecare pereche de electroni situată în puncte de pe sferă, determinate de vectori și, respectiv. $k_{e)$ $r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|$ ${r}_{i}$ ${r}_{j)$

Unitățile simplificate și sunt folosite fără a pierde sensul principal. Apoi, $e=1$ $k_{e}=1$

${\U_{ij}(N)={1 \over r_{ij)).)$

Energia potențială totală a sarcinii electrostatice a fiecărei configurații de N-electroni poate fi exprimată ca suma tuturor interacțiunilor perechilor.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Minimizarea globală peste toate seturile posibile de N puncte distincte este de obicei găsită prin algoritmi de minimizare numerică.

Exemplu

Soluția problemei Thomson pentru doi electroni se obține atunci când ambii electroni sunt cât mai îndepărtați unul de celălalt posibil pe părțile opuse ale originii , sau ${\displaystyle r_{ij}=2r=2)$

{\displaystyle U(2)={1 \over 2}}.}

Soluții cunoscute

Soluții geometrice schematice ale problemei matematice Thomson pentru până la N = 5 electroni.

Configurațiile minime de energie au fost strict definite doar în câteva cazuri.

Pentru N = 1, soluția este banală, deoarece electronul poate fi localizat în orice punct de pe suprafața sferei unității. Energia totală a configurației este definită ca zero, deoarece electronul nu este supus unui câmp electric din cauza altor surse de sarcină.
Pentru N = 2, configurația optimă constă din electroni în punctele antipodale.
Pentru N = 3, electronii se află la vârfurile unui triunghi echilateral în jurul unui cerc mare.
Pentru N = 4, electronii sunt la vârfurile unui tetraedru regulat .
Pentru N = 5, în 2010 a fost obținută o soluție computerizată riguroasă din punct de vedere matematic, cu electroni localizați la vârfurile unei dipiramide triunghiulare.
Pentru N = 6, electronii sunt la vârfurile unui octaedru regulat .
Pentru N = 12, electronii se află la vârfurile unui icosaedru regulat .

Este de remarcat faptul că soluțiile geometrice ale problemei Thomson pentru N = 4, 6 și 12 electroni sunt cunoscute ca solide platonice ale căror fețe sunt triunghiuri echilaterale egale. Soluțiile numerice pentru N = 8 și 20 nu sunt configurații poliedrice convexe regulate ale celor două solide platonice rămase , ale căror fețe sunt pătrate și, respectiv, pentagonale.

Generalizări

De asemenea, este posibil să se interogheze stările fundamentale ale particulelor care interacționează cu potențiale arbitrare. Pentru a fi precis din punct de vedere matematic, fie f o funcție reală descrescătoare. Definim functia energetica $\sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|)$

În mod tradițional, considerat și cunoscut sub numele de nucleul Riesz. Pentru nucleele Riesz neintegrabile , teorema gogoșii de mac este valabilă . Cazurile notabile includ α = ∞, problema Tammes; α = 1, problema lui Thomson; α = 0, problema lui White (pentru a maximiza produsul distanțelor). ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha ))$

Relații cu alte probleme științifice

Problema lui Thomson este o consecință naturală a modelului de budincă de prune al lui Thomson în absența sarcinii de fond pozitive uniforme.

„Niciun fapt descoperit despre atom nu poate fi banal și nu poate accelera progresul științei fizice, deoarece cea mai mare parte a filozofiei naturale este rezultatul structurii și mecanismului atomului.”

Deși datele experimentale au condus la abandonarea modelului budincă Thomson ca model complet al atomului, s-a constatat că neomogenitățile observate în soluțiile energetice numerice ale problemei Thomson corespund umplerii învelișului de electroni cu atomi naturali pe tot parcursul tabelul periodic al elementelor.

Problema Thomson joacă, de asemenea, un rol în studiul altor modele fizice, inclusiv bulele multi-electroni și ordonarea suprafeței picăturilor de metal lichid prinse în capcanele Paul.

Problema generalizată Thomson apare, de exemplu, în determinarea locației subunităților proteice care alcătuiesc plicurile virusurilor sferice. „Particulele” în acest caz sunt grupuri de subunități proteice situate pe înveliș. Alte exemple includ aranjarea regulată a particulelor coloidale în coloidozomi , propusă pentru a încapsula ingrediente active, cum ar fi medicamentele, nutrienții sau celulele vii, structurile fullerene ale atomilor de carbon și teoria repulsiei perechilor de electroni. Un exemplu de interacțiuni logaritmice pe distanță lungă sunt vortexurile Abrikosov, care s-ar forma la temperaturi scăzute într-o carcasă metalică supraconductoare cu un câmp electromagnetic mare în centru.

Cele mai scăzute configurații de energie cunoscute

În tabelul următor - numărul de puncte (încărcări) din configurație, - energia, tipul de simetrie este indicat în notația Schoenflies (vezi Grupuri de puncte în trei dimensiuni ), - pozițiile sarcinilor. Cele mai multe tipuri de simetrie necesită ca suma vectorială a pozițiilor (și, prin urmare, momentul dipolului electric ) să fie zero. $N$ $E_1$ $r_{i}$

De asemenea, se obișnuiește să se țină cont de poliedrul format din corpul convex al punctelor. Astfel, este numărul de vârfuri în care apare un număr dat de muchii, este numărul total de muchii, este numărul de fețe triunghiulare, este numărul de fețe patrulatere și este cel mai mic unghi reprezentat de vectorii asociați cu cea mai apropiată pereche de taxe. Rețineți că lungimile marginilor nu sunt de obicei egale; astfel (cu excepția cazurilor N = 4, 6, 12, 24) carcasa convexă este doar topologic echivalentă cu un poliedru omogen sau cu un corp Johnson. Acestea din urmă sunt enumerate în ultima coloană. $v_{i}$ $e$ $f_3$ $f_{4)$ $\theta _{1}$

N	E 1	Simetrie	${\displaystyle \left\|\sum \mathbf {r} _{i}\right\|}$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5))$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7))$	${\displaystyle v_{8)}$	e	$f_{3)$	$f_{4)$	$\theta _{1}$	Poliedru echivalent
2	0,500000000	$D_{\infty h)$	0	—	—	—	—	—	—	unu	—	—	180.000°	dvuagon
3	1.732050808	$D_{3h)$	0	—	—	—	—	—	—	3	unu	—	120.000°	triunghi
patru	3.674234614	$T_{d)$	0	patru	0	0	0	0	0	6	patru	0	109,471°	tetraedru
5	6.474691495	$D_{3h)$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	dipiramidă triunghiulară
6	9,985281374	$O_{h}$	0	0	6	0	0	0	0	12	opt	0	90.000°	octaedru
7	+14.452977414	$D_{5h)$	0	0	5	2	0	0	0	cincisprezece	zece	0	72.000°	dipiramidă pentagonală
opt	+19.675287861	$D_{4d}$	0	0	opt	0	0	0	0	16	opt	2	71,694°	antiprismă pătrată
9	+25.759986531	$D_{3h)$	0	0	3	6	0	0	0	21	paisprezece	0	69,190°	prisma triunghiulara
zece	+32.716949460	$D_{4d}$	0	0	2	opt	0	0	0	24	16	0	64,996°	Dipiramidă pătrată alungită giroscopică
unsprezece	+40.596450510	$C_{2v)$	0,013219635	0	2	opt	unu	0	0	27	optsprezece	0	58,540°	icosaedru comprimat de o muchie
12	+49.165253058	$I_{h}$	0	0	0	12	0	0	0	treizeci	douăzeci	0	63,435°	icosaedru
13	+58.853230612	$C_{2v)$	0,008820367	0	unu	zece	2	0	0	33	22	0	52,317°	—
paisprezece	+69.306363297	$D_{6d)$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52,866°	dipiramidă hexagonală alungită răsucită
cincisprezece	+80.670244114	$D_{3)$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49,225°	—
16	+92.911655302	$T$	0	0	0	12	patru	0	0	42	28	0	48,936°	—
17	+106.050404829	$D_{5h)$	0	0	0	12	5	0	0	45	treizeci	0	50,108°	—
optsprezece	+120.084467447	$D_{4d}$	0	0	2	opt	opt	0	0	48	32	0	47,534°	—
19	+135.089467557	$C_{2v)$	0,000135163	0	0	paisprezece	5	0	0	cincizeci	32	unu	44,910°	—
douăzeci	+150.881568334	$D_{3h)$	0	0	0	12	opt	0	0	54	36	0	46,093°	—
21	+167.641622399	$C_{2v)$	0,001406124	0	unu	zece	zece	0	0	57	38	0	44,321°	—
22	+185.287536149	$T_{d)$	0	0	0	12	zece	0	0	60	40	0	43,302°	—
23	+203.930190663	$D_{3)$	0	0	0	12	unsprezece	0	0	63	42	0	41,481°	—
24	+223.347074052	$O$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42,065°	cub snub
25	+243.812760299	$C_{S}$	0,001021305	0	0	paisprezece	unsprezece	0	0	68	44	unu	39,610°	—
26	+265.133326317	$C_{2}$	0,001919065	0	0	12	paisprezece	0	0	72	48	0	38,842°	—
27	+287.302615033	$D_{5h)$	0	0	0	12	cincisprezece	0	0	75	cincizeci	0	39,940°	—
28	+310.491542358	$T$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37,824°	—
29	+334.634439920	$D_{3)$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36,391°	—
treizeci	+359.603945904	$D_{2}$	0	0	0	12	optsprezece	0	0	84	56	0	36,942°	—
31	+385.530838063	$C_{3v)$	0,003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36,373°	—
32	+412.261274651	$I_{h}$	0	0	0	12	douăzeci	0	0	90	60	0	37,377°	—
33	+440.204057448	$C_{s}$	0,004356481	0	0	cincisprezece	17	unu	0	92	60	unu	33.700°	—
34	+468.904853281	$D_{2}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33,273°	—
35	+498.569872491	$C_{2}$	0,000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°	—
36	+529.122408375	$D_{2}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33,229°	—
37	+560.618887731	$D_{5h)$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32,332°	—
38	+593.038503566	$D_{6d)$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33,236°	—
39	+626.389009017	$D_{3h)$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32,053°	—
40	+660.675278835	$T_{d)$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31,916°	—
41	+695.916744342	$D_{3h)$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31,528°	—
42	+732.078107544	$D_{5h)$	0	0	0	12	treizeci	0	0	120	80	0	31,245°	—
43	+769.190846459	$C_{2v)$	0,000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30,867°	—
44	+807.174263085	$O_{h}$	0	0	0	24	douăzeci	0	0	120	72	6	31,258°	—
45	+846.188401061	$D_{3)$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30,207°	—
46	+886.167113639	$T$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29,790°	—
47	+927.059270680	$C_{s}$	0,002482914	0	0	paisprezece	33	0	0	134	88	unu	28,787°	—
48	+968.713455344	$O$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29,690°	—
49	+1011.557182654	$C_{{3}}$	0,001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28,387°	—
cincizeci	+1055.182314726	$D_{6d)$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29,231°	—
51	+1099.819290319	$D_{3)$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28,165°	—
52	+1145.418964319	$C_{{3}}$	0,000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27,670°	—
53	+1191.922290416	$C_{{2v}}$	0,000278469	0	0	optsprezece	35	0	0	150	96	3	27,137°	—
54	+1239.361474729	$C_{2}$	0,000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°	—
55	+1287.772720783	$C_{2}$	0,000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26,615°	—
56	+1337.094945276	$D_{2}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26,683°	—
57	+1387.383229253	$D_{3)$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26,702°	—
58	+1438.618250640	$D_{2}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26,155°	—
59	+1490.773335279	$C_{2}$	0,000154286	0	0	paisprezece	43	2	0	171	114	0	26,170°	—
60	+1543.830400976	$D_{3)$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25,958°	—
61	+1597.941830199	$C_{1}$	0,001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25,392°	—
62	+1652.909409898	$D_{5}$	0	0	0	12	cincizeci	0	0	180	120	0	25,880°	—
63	+1708.879681503	$D_{3)$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25,257°	—
64	+1765.802577927	$D_{2}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24,920°	—
65	+1823.667960264	$C_{2}$	0,000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24,527°	—
66	+1882.441525304	$C_{2}$	0,000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24,765°	—
67	+1942.122700406	$D_{5}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24,727°	—
68	+2002.874701749	$D_{2}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24,433°	—
69	+2064.533483235	$D_{3)$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24,137°	—
70	+2127.100901551	$D_{2d)$	0	0	0	12	cincizeci	0	0	200	128	patru	24,291°	—
71	+2190.649906425	$C_{2}$	0,001256769	0	0	paisprezece	55	2	0	207	138	0	23,803°	—
72	+2255.001190975	$eu$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24,492°	—
73	+2320.633883745	$C_{2}$	0,001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22,810°	—
74	+2387.072981838	$C_{2}$	0,000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22,966°	—
75	+2454.369689040	$D_{3)$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22,736°	—
76	+2522.674871841	$C_{2}$	0,000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22,886°	—
77	+2591.850152354	$D_{5}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23,286°	—
78	+2662.046474566	$T_{h}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23,426°	—
79	+2733.248357479	$C_{s}$	0,000702921	0	0	12	63	unu	0	230	152	unu	22,636°	—
80	+2805.355875981	$D_{4d}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22,778°	—
81	+2878.522829664	$C_{2}$	0,000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21,892°	—
82	+2952.569675286	$D_{2}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22,206°	—
83	+3027.528488921	$C_{2}$	0,000339815	0	0	paisprezece	67	2	0	243	162	0	21,646°	—
84	+3103.465124431	$C_{2}$	0,000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21,513°	—
85	+3180.361442939	$C_{2}$	0,000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21,498°	—
86	+3258.211605713	$C_{2}$	0,001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21,522°	—
87	+3337.000750014	$C_{2}$	0,000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21,456°	—
88	+3416.720196758	$D_{2}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21,486°	—
89	+3497.439018625	$C_{2}$	0,000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21,182°	—
90	+3579.091222723	$D_{3)$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°	—
91	+3661.713699320	$C_{2}$	0,000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21,105°	—
92	+3745.291636241	$D_{2}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21,026°	—
93	+3829.844338421	$C_{2}$	0,000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20,751°	—
94	+3915.309269620	$D_{2}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20,952°	—
95	+4001.771675565	$C_{2}$	0,000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20,711°	—
96	+4089.154010060	$C_{2}$	0,000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20,687°	—
97	+4177.533599622	$C_{2}$	0,000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20,450°	—
98	+4266.822464156	$C_{2}$	0,000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20,422°	—
99	+4357.139163132	$C_{2}$	0,000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20,284°	—
100	+4448.350634331	$T$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20,297°	—
101	+4540.590051694	$D_{3)$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20,011°	—
102	+4633.736565899	$D_{3)$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20,040°	—
103	+4727.836616833	$C_{2}$	0,000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19,907°	—
104	+4822.876522746	$D_{6}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19,957°	—
105	+4919.000637616	$D_{3)$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19,842°	—
106	+5015.984595705	$D_{2}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19,658°	—
107	+5113.953547724	$C_{2}$	0,000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19,327°	—
108	+5212.813507831	$C_{2}$	0,000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19,327°	—
109	+5312.735079920	$C_{2}$	0,000647299	0	0	paisprezece	93	2	0	321	214	0	19,103°	—
110	+5413.549294192	$D_{6}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19,476°	—
111	+5515.293214587	$D_{3)$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19,255°	—
112	+5618.044882327	$D_{5}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19,351°	—
113	+5721.824978027	$D_{3)$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18,978°	—
114	+5826.521572163	$C_{2}$	0,000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18,836°	—
115	+5932.181285777	$C_{{3}}$	0,000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18,458°	—
116	+6038.815593579	$C_{2}$	0,000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18,386°	—
117	+6146.342446579	$C_{2}$	0,000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18,566°	—
118	+6254.877027790	$C_{2}$	0,000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18,455°	—
119	+6364.347317479	$C_{2}$	0,000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18,336°	—
120	+6474.756324980	$C_{s}$	0,001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18,418°	—
121	+6586.121949584	$C_{{3}}$	0,000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18,199°	—
122	+6698.374499261	$I_{h}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18,612°	—
123	+6811.827228174	$C_{{2v}}$	0,001939754	0	0	paisprezece	107	2	0	363	242	0	17,840°	—
124	+6926.169974193	$D_{2}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°	—
125	+7041.473264023	$C_{2}$	0,000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17,867°	—
126	+7157.669224867	$D_{4)$	0	0	2	16	100	opt	0	372	248	0	17,920°	—
127	+7274.819504675	$D_{5}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17,877°	—
128	+7393.007443068	$C_{2}$	0,000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17,814°	—
129	+7512.107319268	$C_{2}$	0,000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17,743°	—
130	+7632.167378912	$C_{2}$	0,000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17,683°	—
131	+7753.205166941	$C_{2}$	0,000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17,511°	—
132	+7875.045342797	$eu$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17,958°	—
133	+7998.179212898	$C_{{3}}$	0,000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17,133°	—
134	+8122.089721194	$C_{2}$	0,000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17,214°	—
135	+8246.909486992	$D_{3)$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17,431°	—
136	+8372.743302539	$T$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17,485°	—
137	+8499.534494782	$D_{5}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17,560°	—
138	+8627.406389880	$C_{2}$	0,000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16,924°	—
139	+8756.227056057	$C_{2}$	0,000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16,673°	—
140	+8885.980609041	$C_{1}$	0,000630351	0	0	13	126	unu	0	414	276	0	16,773°	—
141	+9016.615349190	$C_{{2v}}$	0,000376365	0	0	paisprezece	126	0	unu	417	278	0	16,962°	—
142	+9148.271579993	$C_{2}$	0,000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16,840°	—
143	+9280.839851192	$C_{2}$	0,000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16,782°	—
144	+9414.371794460	$D_{2}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16,953°	—
145	+9548.928837232	$C_{s}$	0,000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16,841°	—
146	+9684.381825575	$D_{2}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16,905°	—
147	+9820.932378373	$C_{2}$	0,000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16,458°	—
148	+9958.406004270	$C_{2}$	0,000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16,627°	—
149	+10096.859907397	$C_{1}$	0,000638186	0	0	paisprezece	133	2	0	441	294	0	16,344°	—
150	+10236.196436701	$T$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16,405°	—
151	+10376.571469275	$C_{2}$	0,000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16,163°	—
152	+10517.867592878	$D_{2}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16,117°	—
153	+10660.082748237	$D_{3)$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16,390°	—
154	+10803.372421141	$C_{2}$	0,000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16,078°	—
155	+10947.574692279	$C_{2}$	0,000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15,990°	—
156	+11092.798311456	$C_{2}$	0,000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15,822°	—
157	+11238.903041156	$C_{2}$	0,000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15,948°	—
158	+11385.990186197	$C_{2}$	0,000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15,987°	—
159	+11534.023960956	$C_{2}$	0,000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15,960°	—
160	+11683.054805549	$D_{2}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15,961°	—
161	+11833.084739465	$C_{2}$	0,000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15,810°	—
162	+11984.050335814	$D_{3)$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15,813°	—
163	+12136.013053220	$C_{2}$	0,000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15,675°	—
164	+12288.930105320	$D_{2}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15,655°	—
165	+12442.804451373	$C_{2}$	0,000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15,651°	—
166	+12597.649071323	$D_{2d)$	0	0	0	16	146	patru	0	492	328	0	15,607°	—
167	+12753.469429750	$C_{2}$	0,000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°	—
168	+12910.212672268	$D_{3)$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15,655°	—
169	+13068.006451127	$C_{s}$	0,000068102	0	0	13	155	unu	0	501	334	0	15,537°	—
170	+13226.681078541	$D_{2d)$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15,569°	—
171	+13386.355930717	$D_{3)$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15,497°	—
172	+13547.018108787	$C_{{2v}}$	0,000547291	0	0	paisprezece	156	2	0	510	340	0	15,292°	—
173	+13708.635243034	$C_{s}$	0,000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15,225°	—
174	+13871.187092292	$D_{2}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15,366°	—
175	+14034.781306929	$C_{2}$	0,000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15,252°	—
176	+14199.354775632	$C_{1}$	0,000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15,101°	—
177	+14364.837545298	$D_{5}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15,269°	—
178	+14531.309552587	$D_{2}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15,145°	—
179	+14698.754594220	$C_{1}$	0,000125113	0	0	13	165	unu	0	531	354	0	14,968°	—
180	+14867.099927525	$D_{2}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15,067°	—
181	+15036.467239769	$C_{2}$	0,000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°	—
182	+15206.730610906	$D_{5}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15,155°	—
183	+15378.166571028	$C_{1}$	0,000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14,747°	—
184	+15550.421450311	$T$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14,932°	—
185	+15723.720074072	$C_{2}$	0,000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14,775°	—
186	+15897.897437048	$C_{1}$	0,000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14,739°	—
187	+16072.975186320	$D_{5}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14,848°	—
188	+16249.222678879	$D_{2}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14,740°	—
189	+16426.371938862	$C_{2}$	0,000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14,671°	—
190	+16604.428338501	$C_{{3}}$	0,000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14,501°	—
191	+16783.452219362	$C_{1}$	0,001129202	0	0	13	177	unu	0	567	378	0	14,195°	—
192	+16963.338386460	$eu$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14,819°	—
193	+17144.564740880	$C_{2}$	0,000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14,144°	—
194	+17326.616136471	$C_{1}$	0,000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°	—
195	+17509.489303930	$D_{3)$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14,375°	—
196	+17693.460548082	$C_{2}$	0,000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14,251°	—
197	+17878.340162571	$D_{5}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14,147°	—
198	+18064.262177195	$C_{2}$	0,000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14,237°	—
199	+18251.082495640	$C_{1}$	0,000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14,153°	—
200	+18438.842717530	$D_{2}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14,222°	—
201	+18627.591226244	$C_{1}$	0,001048859	0	0	13	187	unu	0	597	398	0	13.830°	—
202	+18817.204718262	$D_{5}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14,189°	—
203	+19007.981204580	$C_{s}$	0,000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13,977°	—
204	+19199.540775603	$T_{h}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14,291°	—
212	+20768.053085964	$eu$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14,118°	—
214	+21169.910410375	$T$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13,771°	—
216	+21575.596377869	$D_{3)$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13,735°	—
217	+21779.856080418	$D_{5}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13,902°	—
232	+24961.252318934	$T$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13,260°	—
255	+30264.424251281	$D_{3)$	0	0	0	12	243	0	0	+759	506	0	12,565°	—
256	+30506.687515847	$T$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12,572°	—
257	+30749.941417346	$D_{5}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12,672°	—
272	+34515.193292681	$I_{h}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12,335°	—
282	+37147.294418462	$eu$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12,166°	—
292	+39877.008012909	$D_{5}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11,857°	—
306	+43862.569780797	$T_{h}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11,628°	—
312	+45629.313804002	$C_{2}$	0,000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11,299°	—
315	+46525.825643432	$D_{3)$	0	0	0	12	303	0	0	+939	626	0	11,337°	—
317	+47128.310344520	$D_{5}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11,423°	—
318	+47431.056020043	$D_{3)$	0	0	0	12	306	0	0	+948	632	0	11,219°	—
334	+52407.728127822	$T$	0	0	0	12	322	0	0	+996	664	0	11,058°	—
348	+56967.472454334	$T_{h}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10,721°	—
357	+59999.922939598	$D_{5}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10,728°	—
358	+60341.830924588	$T$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10,647°	—
372	+65230.027122557	$eu$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10,531°	—
382	+68839.426839215	$D_{5}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10,379°	—
390	+71797.035335953	$T_{h}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	+776	0	10,222°	—
392	+72546.258370889	$eu$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10,278°	—
400	+75582.448512213	$T$	0	0	0	12	388	0	0	+1194	+796	0	10,068°	—
402	+76351.192432673	$D_{5}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10,099°	—
432	+88353.709681956	$D_{3)$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9,556°	—
448	+95115.546986209	$T$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9,322°	—
460	+100351.763108673	$T$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9,297°	—
468	+103920.871715127	$S_{6}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	+932	0	9.120°	—
470	+104822.886324279	$S_{6}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	+936	0	9,059°	—

Conform ipotezei, dacă , p este un poliedru format dintr-o carcasă convexă de m puncte, q este numărul de fețe patrulatere p , atunci soluția pentru m electroni este f ( m ): . ${\displaystyle m=n+2)$ ${\displaystyle f(m)=0^{n}+3n-q)$

Link -uri

Thomson, Joseph John (martie 1904). „Despre structura atomului: un studiu al stabilității și al perioadelor de oscilație a unui număr de corpusculi localizați la intervale regulate în jurul circumferinței unui cerc; cu aplicarea rezultatelor la teoria structurii atomice” (PDF). Jurnal filozofic . Seria 6. 7 (39): 237-265. doi : 10.1080 / 14786440409463107 . Arhivat din original (PDF) pe 13 decembrie 2013.
Smale, S. (1998) „Probleme matematice ale secolului următor”. „Inteligenta matematica”.
Föppl, L. (1912). „Aranjamentul stabil al electronilor în atom” de J. Rain Angew. Matematică (141): 251-301
Schwartz, Richard (2010). „Un caz de cinci electroni al problemei Thomson”. arXiv : 1001.3702 ;[ math.MG ].
^ Landkof N. S. Fundamentele teoriei potențialului modern. Traducere din rusă de A.P. Dukhovsky. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, grupa 180. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972. x + 424 p.
^ Hardin D.P.; Saff, E. B. Discretizarea varietăților prin puncte de energie minimă. Note de Amer. Matematică Soc. 51 (2004), nr. 10, 1186-1194
^ Levine, Y.; Arenzon, JJ (2003). „De ce taxele ies la suprafață: o problemă generalizată Thomson”. Europhys. Lett . 63(3): 415. arXiv: cond-mat/0302524 . doi: 10.1209/epl/i2003-00546-1 .
^ Sir J. J. Thomson, Romanov Lecture, 1914 (Teoria atomică)
LaFave Jr, Tim (2013). „Corespondențele dintre problema electrostatică clasică a lui Thomson și structura electronică atomică”. Jurnalul de electrostatică . 71(6): 1029-1035. arXiv : 1403.2591 . doi: 10.1016/j.elstat.2013.10.001.
Kevin Brown. „Configurații ale energiei electronilor minime pe o sferă” . Accesat 2014-05-01.
„ Sloane’s A008486 (vezi comentariul 03 feb 2017) ”. Enciclopedia electronică a secvenţelor întregi . Fundația OEIS. Primit 2017-02-08