Grup de puncte în spațiul 3D

Grupuri politopice , [n,3], (*n32)
Simetrii de involuție C s , (*) [ ] =	Simetria ciclică C nv , (*nn) [n] =	Simetria diedrică D nh , (*n22) [n,2] =
Simetria tetraedrică T d , (*332) [3,3] =	Simetrie octaedrică O h , (*432) [4,3] =	Simetria icosaedrică I h , (*532) [5,3] =

Un grup de puncte din spațiul tridimensional este un grup de izometrii din spațiul tridimensional care nu mișcă originea sau un grup de izometrii ale unei sfere . Grupul este un subgrup al grupului ortogonal O(3), grupul tuturor izometriilor care lasă originea fixă sau, respectiv, grupul matricelor ortogonale . O(3) este el însuși un subgrup al grupului euclidian E (3) de mișcări ale unui spațiu tridimensional.

Grupurile de simetrie ale obiectelor sunt grupuri de izometrie. În consecință, analiza grupurilor de izometrie este analiza simetriilor posibile . Toate izometriile unui obiect 3D mărginit au unul sau mai multe puncte fixe (care nu își schimbă poziția din cauza simetriei). Alegem originea ca unul dintre aceste puncte.

Grupul de simetrie al unui obiect este uneori numit grup de simetrie completă spre deosebire de grupul său de rotație sau propriul său grup de simetrie , intersecția grupului de simetrie completă și grupul de rotație SO(3) al spațiului tridimensional. Grupul de rotație al unui obiect este același cu grupul de simetrie completă dacă și numai dacă obiectul este chiral .

Grupurile de puncte din spațiul tridimensional sunt utilizate pe scară largă în chimie, în special atunci când se descriu simetriile unei molecule și ale orbitalilor moleculari care formează legături covalente , iar în acest context aceste grupuri sunt numite grupări punctiforme moleculare .

Grupurile Coxeter finite sunt un set special de grupuri de puncte format dintr-un set de planuri oglindă care se intersectează într-un punct. Un grup Coxeter de rang n are n oglinzi și este reprezentat printr -o diagramă Coxeter-Dynkin . Notația Coxeter oferă o notație paranteze echivalentă cu diagrama Coxeter cu simboluri de marcare pentru subgrupuri de rotație și alte simetrie punctuală.

Structura grupului

SO(3) este un subgrup de E + (3) , care constă din izometrii directe , i.e. izometrii care păstrează orientarea . Conține izometrii ale acestui grup, lăsând originea fără mișcare.

O(3) este produsul direct al SO(3) și grupul format din simetria centrală :

O(3) = SO(3) × { I , − I }

Astfel, există o corespondență 1-la-1 între toate izometriile directe și izometriile indirecte obținute prin simetrie centrală. Există, de asemenea, o corespondență 1-la-1 între toate grupurile de izometrie directe ale H din O(3) și toate grupurile de izometrie ale K din O(3) care conțin o inversare centrală:

K = H × { I , − I } H = K ∩ SO(3)

De exemplu, dacă H este o grupare C2 , atunci K este egal cu C2h . Dacă H este o grupare C3 , atunci K este egal cu S6 . (Vezi mai jos pentru o definiție a acestor grupuri.)

Dacă grupul de izometrie directă H are un subgrup L cu indicele 2, atunci, pe lângă grupul care conține simetria centrală, există și un grup corespunzător care conține izometrii indirecte, dar care nu conține simetrie centrală:

M = L ∪ ( ( H \ L ) × { − I } ),

unde izometria ( A , I ) este identificată cu A. Un exemplu ar fi C4 pentru H și S4 pentru M.

Astfel, M se obţine din H prin intermediul simetriei centrale a izometriilor din H \ L . Acest grup M este o grupare abstractă izomorfă cu H . În schimb, pentru toate grupurile de izometrie care conțin izometrii indirecte, dar fără simetrie centrală, putem obține un grup de rotație prin aplicarea simetriei centrale la izometriile indirecte.

În două dimensiuni, grupul ciclic de rotații de ordinul k C k (rotații printr-un unghi de 180°/ k ) pentru orice numere întregi pozitive k este un subgrup de O(2, R ) și SO(2, R ). În consecință, în spațiul tridimensional, pentru orice axă, grupul ciclic de rotații de ordinul k în jurul axei este un subgrup normal al tuturor rotațiilor în jurul axei. Întrucât orice subgrup cu indicele doi este normal, grupul de rotație ( C n ) este normal atât în grupul obținut prin adăugarea simetriilor în oglindă despre planele care conțin axele ( C nv ), cât și în grupul obținut prin adăugarea simetriilor în oglindă despre planele perpendiculare pe axele ( C nh ).

Izometrii tridimensionale care lasă originea fixă

Izometriile spațiului R 3 care lasă originea fixă și formează grupul O( 3 , R ) pot fi împărțite în grupuri după cum urmează:

SO( 3 , R ):
- mișcare identică
- rotație în jurul unei axe care trece prin origine printr-un unghi diferit de 180°
- rotație în jurul unei axe care trece prin origine printr-un unghi egal cu 180°
la fel și cu simetria centrală ( x se traduce în −x ), adică. respectiv:
- simetria centrală
- rotație în jurul unei axe care trece prin origine printr-un unghi nu egal cu 180°, urmată de reflexie în jurul unui plan perpendicular pe axă și care trece prin origine
- reflecție despre un plan care trece prin origine

Izometriile a 4-a și a 5-a, în special, și într-un sens mai larg și a 6-a, se numesc rotații improprii .

Conjugație

Dacă se compară simetriile a două obiecte, atunci originea coordonatelor pentru fiecare obiect este aleasă separat, adică. nu vor avea neapărat același centru. Mai mult, obiectele sunt considerate a avea același tip de simetrie dacă grupurile lor de simetrie sunt grupuri conjugate ale grupului O(3) (două subgrupe H 1 și H 2 ale lui G sunt conjugate dacă există g ∈ G astfel încât H 1 = g -1 H2 g ) .

De exemplu, două obiecte 3D au același tip de simetrie dacă

ambele au simetrie în oglindă, dar în raport cu planuri diferite
ambele au simetrie de rotație de ordinul 3, dar despre axe diferite.

În cazul mai multor planuri de simetrie și/sau axe de rotație, două grupuri de simetrie sunt de același tip dacă și numai dacă există o rotație care mapează întreaga structură a primului grup de simetrie la al doilea. (De fapt, pot exista mai multe rotații, dar nu un număr infinit). Definiția conjugării permite, de asemenea, oglindirea structurii, dar acest lucru nu este necesar, deoarece structura în sine este achirală. De exemplu, dacă un grup de simetrie conține o axă de ordinul 3, acesta conține rotații în două direcții opuse (structura este chirală pentru 11 perechi de grupuri cristalografice cu o axă elicoidală).

Grupuri infinite de izometrie

Există multe grupuri de izometrie infinite, de exemplu, „ grupul ciclic ” (presupus a fi un grup format dintr-un singur element - care nu trebuie confundat cu un grup cu torsiune ) format dintr-o rotație irațională în jurul unei axe. Putem crea grupuri abeliene non-ciclice adăugând răsuciri suplimentare în jurul aceleiași axe. Există și grupuri non-abeliene formate prin rotații pe diferite axe. Sunt de obicei (în general) grupuri gratuite . Ele vor fi infinite dacă nu alegeți să vă rotiți într-un anumit fel.

Toate grupurile infinite menționate până în acest punct nu sunt închise ca subgrupuri topologice ale grupului O(3).

Grupul complet O(3) este un grup de simetrie sferică . SO(3) este grupul de rotație corespunzător. Alte grupuri infinite de izometrie constau din toate rotațiile în jurul unei axe care trece prin origine și aceeași rotație cu simetrie suplimentară în oglindă față de planurile care trec prin această axă și/sau simetrie în oglindă în jurul unui plan care trece prin origine și perpendicular pe axă. Aceste grupuri cu oglinzi care trec prin axă, cu sau fără oglindă care trece prin origine și perpendiculare pe axă, sunt grupuri de simetrie pentru două tipuri de simetrie cilindrică . Rețineți că orice obiect fizic care are simetrii de rotație infinite va avea și simetrii în oglindă în raport cu planurile care trec prin axă.

Grupuri de izometrie finite

Simetriile din spațiul tridimensional care lasă originea în loc sunt complet definite de simetrii pe sfera centrată la origine. Pentru grupuri de puncte tridimensionale finite, vezi și Grupuri de simetrie sferică .

Până la conjugare, setul de grupuri de puncte tridimensionale finite constă din:

7 serii infinite cu cel mult o axă de ordin mai mare decât 2. Acestea sunt grupuri de simetrie finită pe cilindri infiniti sau, echivalent, pe cilindri finiți. Aceste grupuri sunt uneori numite grupuri de puncte prismatice.
Grupuri de 7 puncte cu axe multiple de ordinul 3 sau mai mult. Acestea sunt grupuri de puncte finite cu axe multiple de ordinul 3, deoarece toate cele 7 includ astfel de axe. Combinații posibile de osii:
- Ordinul pe 4 axe 3
- 4 axe de ordinul 3 și 3 de ordinul 4
- 10 axe de ordinul 3 și 6 de ordinul 5

Setul de grupuri de puncte este similar cu grupul de transfer discret - 27 din 7 serii infinite și 5 din 7 rămase, 32 așa-numite grupuri de puncte cristaline în total. Vezi și Teorema constrângerii cristalografice .

Șapte serii infinite de grupuri axisimetrice

Serii infinite de grupuri prismatice au indicele n , care poate fi orice număr natural. În fiecare serie , a n- a grupă de simetrie conține o rotație de ordinul n în jurul axei, i.e. rotatie cu 360°/ n . Cazul n =1 corespunde absenței mișcării. Există patru serii fără axe suplimentare de simetrie de rotație (vezi simetrii ciclice ) și trei cu axe suplimentare de simetrie de ordinul 2 (vezi simetria diedrică ). Ele pot fi înțelese ca grupuri de puncte în planul , extinse prin axe de coordonate și reflexii în ele. Ele sunt legate de grupurile de graniță [1] și pot fi considerate ca grupuri de granițe care se repetă de n ori în jurul cilindrului.

Următorul tabel oferă câteva tipuri de notații pentru grupuri de puncte: simbolismul Hermann-Mogen (utilizat în cristalografie ), simbolurile Schoenflies (folosite pentru a descrie simetria moleculară ), notația orbifold și notația Coxeter . Ultimele trei sunt nu numai convenabile pentru înțelegerea proprietăților grupurilor de puncte, ci și determină ordinea grupului. Acestea sunt intrări unificate aplicabile grupurilor de imagini de fundal și grupurilor de chenar . Pentru grupurile cristalografice, n este limitat la 1, 2, 3, 4 și 6. Dacă eliminăm restricțiile cristalografice, obținem grupuri pentru orice număr natural.

Serie:

Herman - Mogena		Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		Frontieră	Structură ( Comanda )	Exemplu	Comentarii
Chiar și n	impar n	Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		(cilindru)	Structură ( Comanda )	Exemplu	Comentarii
n		C n	nn	[n] +		p1	n	Z n ( n )		simetria rotationala de ordinul n
2n _	n	S2n _ _	n ×	[2n + ,2 + ]		p11g	Z 2 n (2 n )		Simetria rotațională a oglinzii de ordinul n . A nu se confunda cu grupurile simetrice
n /m	2n _	C n h	n *	[n + ,2]		p11m	Z n ×Dih 1 (2 n )
nmm _	n m	C n v	* nn	[n]		p1m1	Dihn ( 2n ) _		simetrie piramidală; în biologie – simetrie biradială
n 22	n 2	D n	22n _	[n,2] +		p211	2n _	Dih n	Simetria diedrică
2n2m _ _	n m	D n d , D n v	[2n,2 + ]		p2mg	4n _	Dih 2 n (2 n )		Simetrie antiprismatică
n /mmm	2n2m _ _	D n h	* 22n	[n,2]		p2mm	Dih n ×Dih 1 (4 n )		Simetrie prismatică

Pentru n impar avem Z 2 n = Z n × Z 2 și Dih 2 n = Dih n × Z 2 .

Conceptele de orizontală (h) și verticală (v), precum și indicii corespunzători (inferioare), se referă la planuri oglinzi suplimentare care pot fi paralele cu axa de rotație (verticală) sau perpendiculare pe axa de rotație (orizontală). .

Cele mai simple grupuri netriviale au o simetrie involutivă (grupul abstract Z 2 ):

C i - simetria centrală
C 2 - simetria rotațională de ordinul 2
Simetria C s - oglindă , numită și simetrie bilaterală .

Al doilea dintre aceste grupe este primul dintre grupurile cu o axă ( grupe ciclice ) C n de ordinul n (aplicabil și în spațiul bidimensional), care sunt generate printr-o singură rotație printr-un unghi de 360°/ n . În plus, se poate adăuga un plan oglindă perpendicular pe axă, care dă un grup C nh de ordin 2 n , sau un set de n oglinzi care conțin axa, care dă un grup C nv , tot de ordin 2 n . Acesta din urmă este grupul de simetrie al unei piramide regulate cu n laturi. Un obiect tipic cu grupa de simetrie C n sau D n este o elice .

Dacă se adaugă atât planurile de reflexie verticale, cât și planurile orizontale, intersecțiile lor dau n axe de rotație de 180°, deci grupul nu mai este uniaxial. Acest nou grup de ordin 4 n se numește D nh . Subgrupurile sale de rotație sunt grupul diedric D n de ordinul 2 n , care are totuși axe de rotație de ordinul 2 perpendiculare pe axa principală de rotație, dar nu are planuri de reflexie în oglindă. Rețineți că în 2D D n include reflexii, care pot fi văzute ca răsturnarea unor obiecte plate fără a face distincția între față și spate, dar în 3D cele două operații sunt diferite - grupul conține „întoarcere”, dar nu și reflexii.

Există un alt grup în această familie, numit D nd (sau D nv ), care are planuri verticale în oglindă care conțin axa principală de rotație, dar în loc de o oglindă orizontală, are o izometrie care combină reflexia în jurul unui plan orizontal și rotația prin un unghi de 180°/ n . D nh este grupul de simetrie al unei prisme regulate (n+2) laturi și pentru o bipiramidă regulată (2n) laturi . D nd este grupul de simetrie pentru o antiprismă cu laturi regulate (n+2) și, de asemenea, pentru un trapezoedru cu laturi regulate ( 2n ) . D n este grupul de simetrie al prismei parțial rotite.

Grupurile D 2 și D 2 h sunt remarcabile prin faptul că nu au axe speciale de rotație. Există trei axe perpendiculare de ordinul 2 [2] . D 2 este un subgrup de simetrii poliedrice (vezi mai jos) și D 2 h este un subgrup de simetrii poliedrice T h și O h . D2 poate fi găsit în homotetrameri , cum ar fi concanavalina A , în complexe tetraedrice cu patru liganzi chirali identici , sau în molecule precum tetrakis(clorfluormetil) metan , dacă toate grupările clorofluormetil au aceeași chiralitate. Elementele lui D 2 sunt în corespondență 1-la-2 cu rotațiile date de elementele reversibile ale cuaternionilor Lipschitz .

Grupul S n este generat de o combinație de reflexie în plan orizontal și rotație printr-un unghi de 360°/ n . Pentru n impar , grupul coincide cu grupul generat de două C nh separate de ordin 2 n , și prin urmare notația S n nu este necesară. Pentru chiar n , ele sunt însă distincte și au ordine de n . Ca și D nd , grupul conține mai multe rotații improprii , dar nicio rotație corespunzătoare.

Toate grupurile de simetrie din cele 7 serii infinite sunt diferite, cu excepția următoarelor patru perechi egale:

C 1h și C 1v : grup de ordinul 2 cu o singură reflexie ( C s )
D 1 și C 2 : grupul de comandă 2 cu o rotație de 180°
D 1 h și C 2 v : grup de ordinul 4 cu reflexie în jurul unui plan și rotire cu 180° în jurul unei drepte pe acel plan
D 1 d și C 2 h : grupă de ordinul 4 cu reflexie în jurul unui plan și rotire cu 180° în jurul unei drepte perpendiculare pe acel plan

S 2 este un grup de ordinul 2 cu o simetrie unică în jurul punctului ( C i )

Aici „Egal” înseamnă același până la conjugarea în spațiu. Acest lucru este mai strict decât „până la izomorfismul algebric”. De exemplu, există trei grupuri distincte de ordinul doi în primul sens, dar doar unul în al doilea. În mod similar, de exemplu, grupul S2n este izomorf algebric cu Z2n .

Grupurile pot fi create astfel:

C n . Generat de un element, numit și C n , corespunzător unei rotații printr-un unghi de 2π/ n în jurul axei. Elementele grupului sunt E (element de identitate), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , corespunzătoare rotației prin unghiuri 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( n − 1) π/ n .
S2n _ _ _ Grupul este generat de elementul C 2 n σ h , unde σ h este reflexia (într-o oglindă perpendiculară pe axă). Elementele sale sunt elementele C n cu elemente adăugate C 2n σ h , C 2 n 3 σ h , ..., C 2 n 2 n −1 σ h .
C n h . Grupul este generat de elementul C n și reflexia σ h . Elementele sale sunt elemente ale grupului C n cu elemente adăugate σ h , C n σ h , C n 2 σ h , ..., C n n −1 σ h .
C nv . _ Grupul este generat de elementul C n și reflexia σ v în oglinda care trece prin axă. Elementele sale sunt elemente ale grupului C n cu elemente adăugate σ v , C n σ v , C n 2 σ v , ..., C n n −1 σ v .
D n . Grupul este generat de elementul C n și o rotație de 180° U = σ h σ v în jurul unei drepte situate într-un plan perpendicular pe axă. Elementele sale sunt elemente ale grupului C n cu elemente adăugate U, C n U, C n 2 U, ..., C n n − 1 U.
D n d . Grupul este generat de elementele C 2 n σ h și σ v . Elementele sale sunt elemente ale grupului C n și elemente ale grupelor S 2 n și C n v , împreună cu elementele C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , ..., C 2 n 2 n − 1 σ h σ v .
D n h . Grupul este generat de elementele C n , σ h și σ v . Elementele sale sunt elemente ale grupului C n cu adăugarea elementelor grupelor C n h , C n v și D n .

Luând n egal cu ∞, obținem un grup cu rotații axiale continue:

G–M	Schoenflies	Orbifold	Coxeter	Limită	grup abstract
∞	C∞ _	∞∞	[∞] +	C n	Z∞ _	SO(2)
∞ , ∞/m	C∞h _	∞*	[2,∞ + ]	Cnh , S2n _ _ _	Dih 1 × Z∞	Z2 ×SO(2 )
∞m	C∞v _	*∞∞	[∞]	C n v	Dih∞ _	O(2)
∞2	D∞ _	22∞	[2,∞] +	D n	Dih∞ _	O(2)
∞m, ∞ /mm	D∞h _	*22∞	[2,∞]	D n h , D n d	Dih 1 × Z∞	Z2 ×O(2 )

Cele șapte grupuri de puncte rămase

Grupurile de puncte rămase au simetrie foarte mare sau poliedrică deoarece au mai mult de o axă de rotație de ordin mai mare de 2. Aici, C n denotă o axă de rotație de 360°/n și S n denotă o axă de rotație necorespunzătoare cu același unghi. Coloana de notație indică notația orbifold (în paranteze), notația Coxeter ( diagrama Coxeter ), simbolismul complet Hermann-Maugin și forma prescurtată dacă este diferită. Lista grupelor:

T , (332) [3,3] + () 23 ordinul 12	simetrie tetraedrică chirală	Există patru axe C 3 , fiecare trecând prin două vârfuri ale cubului (de-a lungul diagonalei majore) sau înălțimile unui tetraedru regulat și trei axe C 2 prin centrele fețelor cubului sau punctele mijlocii ale laturilor (opuse) ale cubului. tetraedrul. Acest grup este izomorf cu A 4 , un grup alternant pe 4 elemente și este grupul de rotație al unui tetraedru regulat. Grupul este un subgrup normal al grupelor T d , T h și simetrii octaedrice. Elementele grupului corespund rotațiilor de la 1 la 2, care sunt date de 24 de unități de cuaternion Hurwitz (" Grupul de tetraedri binari ").
T d , (*332) [3,3] () 4 3m comanda 24	simetrie tetraedrică completă	Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T, dar cu șase plane oglindă, fiecare conținând două muchii de cub sau o muchie tetraedrică, o axă C 2 și două axe C 3 . Axele C 2 devin axele S 4 . Acest grup este grupul de simetrie al tetraedrului regulat . T d este izomorf cu S 4 , grupul simetric de 4 litere, deoarece există o corespondență 1 la 1 între elementele lui T d și 24 de permutări ale celor patru 3.ordinulaxe d corespunde cu ansamblul permutărilor acestor patru elemente. T d este un subgrup normal al lui O h . Vezi și izometria unui tetraedru obișnuit .
T h , (3*2) [3 + ,4] () 2/m 3 , m 3 ordinul 24	simetria piriteedrică	Acest grup are aceleași axe de rotație ca și T cu planuri oglindă paralele cu fețele cubului. Axele C 3 devin axe S 6 și există o simetrie centrală. Grupul T h este izomorf cu grupul A 4 × Z 2 (deoarece T și C i sunt subgrupuri normale), dar nu și cu grupul simetric S 4 . Acesta este grupul de simetrie al unui cub, pe fiecare față a căruia este desenat un segment care împarte cubul în două dreptunghiuri egale, iar segmentele fețelor adiacente nu au puncte comune (leagă muchii diferite). Simetriile corespund permutărilor uniforme ale diagonalelor majore, combinate cu simetria centrală. Grupul este, de asemenea, o simetrie a piriteedrului , care este asemănătoare cubului descris mai sus, în care fiecare dreptunghi este înlocuit cu un pentagon cu o axă de simetrie, având 4 laturi egale și o latură de lungime diferită (care corespunde dreptei). segment care desparte fața cubului.). Adică, fețele cubului ies de-a lungul liniei de separare și devin mai înguste aici. Grupul este un subgrup (dar nu un subgrup normal) al grupului de simetrie icosaedrică completă (ca grup izometric, dar nu doar ca grup abstract), cu 4 din cele 10 axe de ordinul 3. Grupul este un subgrup normal. a grupului O h .
O , (432) [4,3] + () 432 ordinul 24	simetrie octaedrică chirală	Acest grup este similar cu grupul T, dar axele C 2 devin axe C 4 și există 6 axe C 2 suplimentare care trec prin punctele medii ale muchiilor cubului. Acest grup este izomorf cu S 4 deoarece elementele sale 1-la-1 corespund la 24 de permutări de ordinul a 3 axe, ca în T. Un obiect de simetrie D 3 în jurul uneia din ordinul 3 axe se obține prin acțiunea lui O asupra o orbită constând din patru astfel de obiecte, iar O corespunde unui set de permutări ale acestor patru elemente. Grupul este grupul de rotație al cubului și al octaedrului . Dacă rotațiile sunt reprezentate prin cuaternioni , O este format din 24 de unități de cuaternioni Hurwitz și 24 de cuaternioni Lipschitz normați , normalizați prin împărțire cu . Ca și înainte, acesta este un meci 1 la 2. ${\sqrt {2}}$
O h , (*432) [4,3] () 4/m 3 2/m, m 3 m ordinul 48	simetrie octaedrică deplină	Acest grup are aceleași axe de rotație ca și O , dar cu planuri oglindă incluzând planurile de simetrie T d și T h . Grupul este izomorf cu S 4 × Z 2 (deoarece atât O cât și C i sunt subgrupuri normale) și este grupul de simetrie al cubului și al octaedrului . Vezi și izometric cub
I , (532) [5,3] + () 532 ordinul 60	simetrie icosaedrică chirală	Grup de rotații ale icosaedrului și dodecaedrului . Grupul este un subgrup normal cu indicele 2 al grupului complet de simetrie I h . Grupul conține 10 versiuni ale grupului D 3 și 6 versiuni ale grupului D 5 (simetrii de rotație, cum ar fi prismele și antiprismele). Grupul conține, de asemenea, cinci versiuni de T h (vezi Compus din cinci tetraedre ). Grupul I este izomorf cu A 5 , grupul alternant de 5 litere, deoarece elementele sale corespund permutărilor pare 1-la-1 ale celor cinci simetrii T h (sau celor cinci tetraedre menționate mai sus).
I h , (*532) [5,3] () 5 3 2/m, 5 3 m comanda 120	simetrie icosaedrică completă	Grupul de simetrie al icosaedrului și al dodecaedrului. Grupul I h este izomorf cu A 5 × Z 2 deoarece I și C i sunt subgrupuri normale. Grupul conține 10 versiuni D 3d , 6 versiuni D 5d (simetrii precum antiprismele ) și 5 versiuni Th .

Grupurile continue asociate acestui grup sunt:

K sau SO(3), toate rotațiile posibile.
K h sau O(3), toate rotațiile și reflexiile posibile.

După cum sa menționat mai sus pentru grupurile de rotație continuă, orice obiect fizic care are simetria K va avea și simetria K h .

Relația dintre notația orbifold și ordine

Ordinul oricărui grup este 2 împărțit la caracteristica Euler orbifold . Acesta din urmă este egal cu 2 minus suma valorilor, care se calculează conform următoarelor reguli:

n fără sau înainte de * contează ca ( n − 1)/ n
n după * contează ca ( n −1)/(2 n )
* și × contează ca 1

Acest lucru poate fi aplicat și pentru grupurile de tapet și grupurile de chenar - pentru ele suma este 2, ceea ce dă o ordine infinită. Vezi orbifold Euler caracteristica .

Grupuri de reflecție Coxeter

Domeniul fundamental al grupurilor tridimensionale Coxeter

A 3 , [3,3]	BC 3 , [4,3]	H3 , [ 5,3]
6 oglinzi	3+6 oglinzi	15 oglinzi
A 1 ×A 1 , [1,2]	A 1 ×A 1 ×A 1 , [2,2]	I 2 (3)×A 1 , [2,3]
2 oglinzi	3 oglinzi	4 oglinzi
A 1 , [1]	A 1 ×A 1 , [2]	I 2 (3), [3]
1 oglindă	2 oglinzi	3 oglinzi

Grupurile de puncte de reflexie în spațiul tridimensional, care sunt numite și grupuri Coxeter și pot fi definite prin diagramele Coxeter-Dynkin , reprezintă un set de oglinzi care se intersectează într-un punct central și limitează regiunea domeniului sub forma unui triunghi sferic pe suprafata sferei. Grupurile Coxeter cu mai puțin de 3 generatoare au domenii triunghiulare sferice degenerate, cum ar fi lune sau emisferă . În notația Coxeter , astfel de grupuri sunt simetria tetraedrică [3,3], simetria octaedrică [4,3], simetria icosaedrică [5,3] și simetria diedrică [p,2]. Numărul de oglinzi dintr-un grup ireductibil este nh/2 , unde h este numărul Coxeter al grupului, n este dimensiunea (3) [3] .

grupul Weil		Ordin	Numărul Coxeter (h)	Oglinzi (m)
Grupuri politopice
A 3	[3,3]	24	patru	6
B3 _	[4,3]	48	6	3+6
H3 _	[5,3]	120	zece	cincisprezece
Grup diedric
2A1 _ _	[1,2]	patru		1+1
3 A 1	[2,2]	opt		2+1
I 2 (p) A 1	[p,2]	4p		p+1
Grupuri ciclice
2A1 _ _	[2]	patru		2
I 2 (p)	[p]	2p		p
o singura oglinda
A 1	[ ]	2		unu

Grupuri de rotație

Grupuri de rotație, de ex. subgrupurile finite ale SO(3) sunt: grupurile ciclice C n (grupurile de rotație ale piramidelor canonice ), grupurile diedrice D n (grupurile de rotație ale prismelor omogene sau bipiramidelor canonice ) și grupurile de rotație T , O și I ale tetraedrului regulat , octaedru / cub și icosaedru / dodecaedru .

În special, grupele diedrice D 3 , D 4 etc. sunt grupuri de rotații de poligoane regulate plane încorporate în spațiul tridimensional și astfel de figuri pot fi considerate prisme regulate degenerate. Prin urmare, ele sunt numite diedre (în greacă: un corp cu două fețe), ceea ce explică denumirea de grup diedric .

Un obiect cu un grup de simetrie C n , C nh , C nv sau S 2n are un grup de rotație C n .
Un obiect cu un grup de simetrie D n , D nh sau D nd are un grup de rotație D n .
Un obiect cu unul dintre celelalte șapte grupuri de simetrie are un grup de rotație corespunzător unui grup fără indice - T , O sau I .

Grupul de rotație al unui obiect este egal cu grupul său de simetrie completă dacă și numai dacă obiectul este chiral .

Lista subgrupurilor de rotație după notația lor Schoenflies , notația Coxeter , ( notația orbifold ):

Reflecţie	Reflecție/rotație	Rotire necorespunzătoare	Rotație
C nv , [n], (*nn)	C nh , [n + ,2], (n*)	S 2n , [2n + ,2 + ], (n×)	C n , [n] + , (nn)
D nh , [2,n], (*n22)	Dnd , [ 2 + ,2n], (2*n)		D n , [2,n] + , (n22)
T d , [3,3], (*332)			T , [3,3] + , (332)
O h , [4,3], (*432)	T h , [3 + ,4], (3*2)		O , [4,3] + , (432)
I h , [5,3], (*532)			I , [5,3] + , (532)

Corespondența grupurilor de rotație și a altor grupuri

Următoarele grupuri conțin simetrie centrală :

C nh și D nh pentru n par
S 2 n și D nd pentru n impar ( S 2 = Ci este un grup generat de simetrie centrală; D 1d = C 2h )
T h , O h și eu h

După cum sa explicat mai sus, există o corespondență 1-la-1 între aceste grupuri și toate grupurile de rotație:

C nh pentru n par și S 2 n pentru n impar corespund lui C n
D nh pentru n par și D nd pentru n impar corespund cu D n
T h , O h și I h corespund lui T , O și I , respectiv.

Alte grupuri conțin izometrii indirecte, dar fără simetrie centrală:

C nv
C nh și D nh pentru n impar
S 2 n și D nd pentru n par
T d

Toate corespund grupului de rotație H și subgrupului L cu indicele 2 în sensul că se obțin din H prin inversarea izometriilor la H \ L , așa cum s-a explicat mai sus:

C n este un subgrup al lui D n cu indice 2, care dă C nv
C n este un subgrup de C 2n cu indice 2, care dă C nh pentru n impar și S 2 n pentru par
D n este un subgrup al lui D 2n cu indicele 2, care dă D nh pentru n impar și D nd pentru par
T este un subgrup al lui O cu indicele 2, care dă T d

Simetrii maxime

Există două grupuri de puncte discrete cu proprietatea că niciun subgrup de puncte discrete nu le are ca subgrup propriu, O h și I h . Cel mai mare subgrup comun al lor este T h . Din acesta se obțin două grupuri prin înlocuirea simetriei rotaționale de ordinul 2 cu simetria de ordinul 4 și, respectiv, adăugarea simetriei de ordinul 5. De asemenea, puteți obține două grupuri adăugând planuri oglindă la Th .

Există două grupuri de puncte cristalografice cu proprietatea că niciun grup de puncte cristalografice nu le conține ca subgrupe proprii - O h și D 6h . Subgrupurile lor comune maxime, în funcție de orientare, sunt D 3d și D 2h .

Ordonarea grupurilor după tipul de grup abstract

Mai mult, grupurile descrise mai sus sunt aranjate conform tipului abstract al grupului.

Cele mai mici grupuri abstracte care nu sunt grupuri de simetrie în spațiul tridimensional sunt grupul de cuaternioni (de ordinul 8), Z 3 × Z 3 (de ordinul 9), grupul diciclic Dic 3 (de ordinul 12) și 10 din 14 grupuri de ordine 16.

Coloana „Număr de elemente de ordinul 2” din următorul tabel arată numărul total de subgrupuri de izometrie de tip C 2 , C i , C s . Acest număr comun este una dintre caracteristicile care fac posibilă distingerea tipurilor abstracte de grupuri, în timp ce tipul lor de izometrie ajută la distingerea grupurilor de izometrii ale aceluiași grup abstract.

Printre posibilele izometrii ale grupurilor din spațiul tridimensional, există infinit de tipuri abstracte de grupuri cu 0, 1 și 3 elemente de ordinul 2, există două grupuri cu 2 n + 1 elemente de ordinul 2 și există trei grupuri cu 2 n + 3 elemente de ordinul 2 (pentru orice n ≥ 2 ). Nu există un număr par pozitiv de elemente de ordinul 2.

Grupuri de simetrie în trei dimensiuni care sunt ciclice ca grupuri abstracte

Grupul de simetrie de rotație de ordinul n este C n . Tipul său de grup abstract este grupul ciclic Z n , care este de asemenea notat C n . Cu toate acestea, există încă două serii infinite de grupuri de simetrie cu tipuri de grupuri abstracte:

Chiar și pentru 2 n există un grup S 2n (în notația Schoenflies) generat de o rotație de 180°/n în jurul unei axe, combinată cu o reflexie într-un plan perpendicular pe axă. Pentru S 2 folosim notația C i , acest grup este generat de simetria centrală.
Pentru orice ordin 2 n , unde n este impar, avem C nh . Grupul are o axă de rotație de ordinul n și un plan oglindă perpendicular. Grupul este generat de o rotație de 360°/ n în jurul axei în combinație cu reflexia. Pentru C 1 h folosim notația C s , acest grup este generat prin reflexie în plan.

Astfel, evidențiind cu caractere aldine cele 10 grupuri de puncte cristalografice pentru care se aplică restricții cristalografice , avem:

Ordin	Grupuri izometrice	grup abstract	Numărul elementelor de ordine 2
unu	C1 _	Z1 _	0
2	C2 , Ci , Cs _ _ _	Z2 _	unu
3	C3 _	Z3 _	0
patru	C4 , S4 _ _	Z4 _	unu
5	C5 _	Z5 _	0
6	C6 , S6 , C3h _ _ _	Z 6 \u003d Z 3 × Z 2	unu
7	C7 _	Z7 _	0
opt	C8 , S8 _ _	Z8 _	unu
9	C9 _	Z9 _	0
zece	C10 , S10 , C5h _ _ _	Z10 = Z5 × Z2 _	unu

etc.

Grupuri de simetrie în spațiul tridimensional, diedrul ca grupuri abstracte

În două dimensiuni, grupul diedric D n include reflexii, care pot fi considerate ca răsturnarea obiectului fără a face distincția între față și spate.

Cu toate acestea, în spațiul tridimensional, cele două operații sunt diferite - grupul de simetrie cu denumirea D n conține n axe de ordinul 2, perpendiculare pe axele de ordin n , și nu reflexie. D n este grupul de rotație al unei prisme cu n laturi cu o bază regulată, o bipiramidă cu n laturi cu o bază regulată și o antiprismă regulată cu n laturi și un trapezoedru regulat cu n laturi . Grupul este, de asemenea, grupul de simetrie completă a unor astfel de obiecte, dacă acestea sunt făcute chirale prin marcarea fețelor sau printr-o modificare a figurii.

Grupul abstract este grupul diedric Dih n , care este de asemenea notat cu simbolul D n . Cu toate acestea, mai există trei grupuri de simetrie cu același grup abstract:

C nv de ordinul 2 n , grupul de simetrie al unei piramide regulate cu n laturi
D nd de ordinul 4 n , grupul de simetrie al unei antiprisme regulate cu n laturi
D nh de ordinul 4 n pentru n impar . Pentru n = 1 obținem D 2 deja dat mai sus, deci n ≥ 3.

Rețineți următoarea proprietate:

Dih 4n+2 Dih 2n+1 × Z 2

\cong

Astfel, punând cele 12 grupe cristalografice cu caractere aldine și scriind D 1d ca echivalent cu C 2h , avem:

Ordin	Grupuri izometrice	grup abstract	Numărul elementelor de ordine 2
patru	D2 , C2v , C2h _ _ _	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D3 , C3v _ _	Dih 3	3
opt	D4 , C4v , D2d _ _ _	Dih 4	5
zece	D5 , C5 v _ _	Dih 5	5
12	D6 , C6v , D3d , D3h _ _ _ _	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
paisprezece	D7 , C7 v _ _	Dih 7	7
16	D8 , C8v , D4d _ _ _ _ _	Dih 8	9
optsprezece	D9 , C9 v _ _	Dih 9	9
douăzeci	D10 , C10v , D5h , D5d _ _ _ _ _ _ _	Dih 10 = D 5 × Z 2	unsprezece

etc.

Altele

C 2n,h de ordinul 4 n este un grup abstract de tip Z 2 n × Z 2 . Pentru n = 1 obținem Dih 2 , grupul deja descris mai sus, deci n ≥ 2.

Astfel, punând cele 2 grupuri de puncte cristalografice ciclice cu caractere aldine, avem:

Ordin	Grupuri izometrice	grup abstract	Numărul elementelor de ordine 2
opt	C4h _	Z4 × Z2 _	3
12	C6h _	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
16	C 8h	Z8 × Z2 _	3
douăzeci	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

etc.

D nh de ordinul 4 n este un grup abstract de tip Dih n × Z 2 . Pentru n impar , grupul a fost deja descris mai sus, deci aici avem D 2 n h de ordin 8 n , care este un grup abstract de tip Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).

Astfel, evidențiind cele 3 grupuri de puncte cristalografice diedrice cu caractere aldine, avem:

Ordin	Grupuri izometrice	grup abstract	Numărul elementelor de ordine 2
opt	D2h _	Dih 2 × Z 2	7
16	D4h _	Dih 4 × Z 2	unsprezece
24	D6h _	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	cincisprezece
32	D8h _	Dih 8 × Z 2	19

etc.

Restul de șapte grupuri, unde cele 5 grupuri de puncte cristalografice sunt îngroșate:

Ordin	Grupuri izometrice	grup abstract	Numărul elementelor de ordine 2
12	T	A4 _	3
24	Td , O _	S4 _	6
24	T h	A 4 × Z 2	6
48	O h	S 4 × Z 2	6
60	eu	A5 _
120	eu h	A 5 × Z 2

Simetrii discrete imposibile

Deoarece revizuirea este exhaustivă, arată implicit care cazuri nu sunt posibile ca grupuri de simetrie discretă. De exemplu:

Axa C 6 într-o direcție și C 3 în cealaltă
Axa C 5 într-o direcție și C 4 în cealaltă
Axa C 3 într-o direcție și o altă axă C 3 în direcție perpendiculară

etc..

Grupuri poliedrice binare

Maparea Spin(3) → SO(3) este o acoperire dublă a grupului de rotație de către grupul spinor în spațiul tridimensional. (Acesta este singurul înveliș conectat al lui SO(3), deoarece Spin(3) este pur și simplu conectat.) Prin teorema de corespondență , există o corespondență Galois între subgrupurile lui Spin(3) și subgrupurile lui SO(3) (grupuri de rotație de puncte) - imaginea unui subgrup de Spin (3) este un grup de rotații de puncte, iar imaginea inversă a unui grup de puncte este un subgrup al grupului Spin (3).

Imaginea inversă a unui grup de puncte finite se numește grup poliedric binar , notat cu <l,n,m> și este numită același nume ca grupul de puncte, dar cu adăugarea binarului , în timp ce ordinea grupului este dublat în raport cu grupul asociat al poliedrului (l,m ,n). De exemplu, preimaginea grupului icosaedric (2,3,5) este grupul icosaedric binar , <2,3,5>.

Grupuri poliedrice binare:

$Un}$ : Grup ciclic binar de ( n + 1)-gon, ordin 2 n
$D_{n}$ : Grup diedric binar al unui n -gon, <2,2,n>, ordin 4 n
$E_{6}$ : grup tetraedric binar , <2,3,3>, ordinul 24
$E_7$ : grup octaedric binar , <2,3,4>, ordinul 48
$E_8$ : Grup icosaedric binar , <2,3,5>, ordinul 120

Grupurile sunt sistematizate conform clasificării ADE iar grupul de factori C 2 după acţiunea grupului poliedric binar are singularitatea Du Val [4] .

Pentru grupurile de puncte de inversare a orientării, situația este mai complicată, deoarece există două grupuri de pin , deci există două grupuri binare posibile care corespund unui grup de puncte dat.

Rețineți că această acoperire este o acoperire de grupuri , nu o acoperire de spații .

Vezi și

Lista grupelor de simetrie sferică
Lista de tabele caracteristice ale grupurilor importante din punct de vedere chimic ale spațiului tridimensional
Grupuri de puncte în spațiul bidimensional
Grupuri de puncte în spațiul cu patru dimensiuni
Simetrie
Izometria planului euclidian
Acțiune de grup
Grup de simetrie punctuală
Singonie
Grup cristalografic
Lista de grupuri mici de ordine
Simetria moleculară

Note

↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ printr-o axă de ordin n înțelegem axa de rotație printr-un unghi de 360°/ n , o astfel de rotație se va numi rotație de ordin n .
↑ Coxeter, 1973 .
↑ Du Val Singularities, de Igor Burban

Literatură

HSM Coxeter . 7 Grupurile poliedrice binare // [ [1] Politopi complexe regulați]. - Cambridge University Press, 1974. - S. 73-82.
HSM Coxeter . §12.6 Numărul de reflexii, ecuația 12.61 // Regular Polytopes . — ediția a 3-a. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
H.S.M. Coxeter , W.O.J. Moser. 6.5 Grupurile poliedrice binare, p. 68 // Generatoare și relații pentru grupuri discrete, ediția a IV-a. - New York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
John Horton Conway , Daniel H. Huson. Notația Orbifold pentru grupuri bidimensionale // Chimie structurală. - Springer Olanda, 2002. - T. 13 , nr. 3 . — S. 247–257 . - doi : 10.1023/A:1015851621002 .
G. L. Fisher, B. Mellor. Grupuri tridimensionale de puncte finite și simetria margelelor // Journal of Mathematics and the Arts . — 2007.

Link -uri

Prezentare grafică a celor 32 de grupuri de puncte cristalografice – formează primele părți (în afară de omiterea n = 5) ale celor 7 serii infinite și 5 din cele 7 grupuri de puncte 3D separate
Centrul de geometrie: 10.1 Formule pentru simetrii în coordonate carteziene (trei dimensiuni)