Problemă de acoperire cu dungi

Problema acoperirii cu dungi este o problemă clasică în geometria combinatorie . În cel mai simplu caz sună așa:

Demonstrați că un cerc de diametru nu poate fi acoperit de benzi cu o lățime totală mai mică de .

d

d

Problema acoperirii cu dungi este cunoscută ca un exemplu de problemă în care este convenabil să treci la dimensiuni mai mari atunci când o rezolvi.

Despre dovada

În versiunea tridimensională a problemei, în loc de benzi, sunt luate zone dintre planuri paralele. Soluția acestei versiuni a problemei decurge cu ușurință din faptul că aria suprafeței laterale a stratului sferic depinde numai de înălțimea acestuia. În special, o sferă nu poate fi acoperită cu straturi cu o grosime totală mai mică decât diametrul sferei, ceea ce înseamnă că nici o sferă nu poate.

Cazul bidimensional rezultă imediat din această observație. Această soluție a fost propusă de Hugo Steinhaus .

Variații și generalizări

În 1932, Tarski a emis ipoteza că, dacă o figură convexă poate fi acoperită cu dungi cu o lățime totală de 1, atunci poate fi acoperită cu o singură bandă de lățime 1. Töger Bang a primit un răspuns afirmativ în 1951. [unu]

Următoarea versiune a problemei despre lățimea relativă a dungilor a fost propusă de Bang:

Să presupunem că un corp convex este acoperit de un număr finit de benzi cu lățimi și există lățimi în direcțiile corespunzătoare. Demonstrează asta

K

w_{1},\dots,w_{n)

v_{1},\dots ,v_{n}

K

{\frac {w_{1}}{v_{1}}}+\dots +{\frac {w_{n}}{v_{n}}}\geq 1.

Vezi și

Teorema lui Monge este un alt exemplu clasic de enunț în a cărui demonstrație este utilă creșterea dimensiunii spațiului.

Note

↑ King, Jonathan L. Trei probleme în căutarea unei măsuri // Amer . Matematică. Lunar : jurnal. - 1994. - Vol. 101 . - P. 609-628 . - doi : 10.2307/2974690 .

Literatură

I. M. Yaglom. T. Bang - V. Fenicul. Rezolvarea unei probleme de acoperire a figurilor convexe // Matem. iluminare, ser. 2. - 1957. - Nr 1 . - S. 214-218 . (Rusă)
R.Alexander. O problemă despre linii și ovale // The American Mathematical Monthly. - 1968. - Vol. 75 , nr. 5 . - P. 482-487 .
Bezdek, Karoly. Problema scandurilor a lui Tarski revizuită // Geometrie — intuitivă, discretă și convexă. - 2013. - S. 45-64 .
Gardner, Richard. Măsurile relative de lățime și problema scândurilor // Pacific Journal of Mathematics. - 1988. - Vol. 135 , nr. 2 . - P. 299-312 .
Bang, Thøger (1950), Despre acoperirea cu benzi paralele., Mat. Tidsskr. B. : 49–53
Bang, Thøger (1951), O soluție a „problema scândurilor” , Proc. amer. Matematică. soc. vol. 2 (6): 990–993, doi : 10.2307 / 2031721 ,