Teorema lui Monge

Teorema lui Monge (un alt nume este teorema celor trei majuscule ) este o teoremă a trei cercuri formulată de Jean d'Alembert si dovedit de Gaspard Monge . Folosit adesea ca exemplu de teoremă în demonstrarea căreia este utilă mărirea dimensiunii spațiului.

Formulare

Pentru trei cercuri arbitrare, fiecare dintre ele nu se află în întregime în interiorul celuilalt, punctele de intersecție ale tangentelor exterioare comune la fiecare pereche de cercuri se află pe aceeași linie .

Dovada

Cea mai simplă dovadă folosește o analogie tridimensională. [1] Fie că trei cercuri corespund la trei sfere cu raze diferite; cercurile corespund ecuatorilor, care iau naștere dintr-un plan care trece prin centrele sferelor. Trei sfere pot fi strânse în mod unic între două planuri. Fiecare pereche de sfere definește un con care atinge ambele sfere din exterior, iar vârful acestui con corespunde punctului de intersecție a celor două tangente exterioare, adică centrul exterior de similitudine . Deoarece o linie a conului se află în fiecare plan, vârful fiecărui con trebuie să se afle în ambele plane și, prin urmare, undeva pe linia de intersecție a celor două plane. Prin urmare, cei trei centri exteriori ai homoteziei sunt coliniari.

Dovada poate fi construită fără analogia tridimensională. În acest caz, putem considera o compoziție de trei omoteții centrate în punctele de intersecție ale tangentelor externe comune la fiecare pereche de cercuri, sub care fiecare dintre omoteții va duce un cerc la altul. În acest caz, produsul coeficienților acestor trei omoteții va fi egal cu 1 (deoarece coeficientul fiecăreia dintre homoteții va fi egal cu raportul dintre raza unui cerc și raza celuilalt cerc), adică , alcătuirea a trei astfel de homotezii va fi o traducere paralelă. Dar dacă luăm în considerare unul dintre centrele acestor trei cercuri, atunci putem vedea că atunci când compunem homoteții, se va transforma în sine, adică va fi un punct fix. Ca urmare, compoziția a trei homoteții va fi o translație paralelă cu un punct fix, astfel încât această compoziție va fi o transformare identică. Și conform teoremei pe trei centre de homoteție , dacă compoziția a trei homoteții este o transformare identică, atunci centrele lor se află pe aceeași linie dreaptă. Prin urmare, punctele de intersecție ale tangentelor externe comune la fiecare pereche de cercuri se află pe aceeași dreaptă.

Variații și generalizări

• Dacă două suprafețe de ordinul doi sunt descrise sau înscrise într-o a treia suprafață de ordinul doi, atunci linia de intersecție a acestora se împarte în două curbe plane, ale căror planuri trec printr-o linie dreaptă care trece prin două puncte de intersecție ale liniilor. de tangenta.
• Teorema lui Monge poate fi generalizată la trei centre arbitrare de homoteții care mapează trei cercuri unul în celălalt - este suficient ca un număr par dintre aceste homoteții să aibă un coeficient negativ.

Vezi și

• Problema acoperirii cu dungi este un alt exemplu clasic de enunț în a cărui demonstrație este utilă creșterea dimensiunii spațiului.

Note

1. ↑ Wells, David. Dicționarul pinguinului de geometrie curioasă și interesantă . - New York: Penguin Books, 1991. - P.  153–154 . — ISBN 0-14-011813-6 .

Link -uri

• Weisstein, Teorema cercului lui Eric W. Monge  (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
• „ Ieșirea în spațiu ” - un videoclip din seria „ Studii matematice ”