Legea lui Ampère

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 februarie 2021; verificările necesită 16 modificări .

Legea lui Ampère - legea interacțiunii curenților electrici . A fost instalat pentru prima dată de André Marie Ampère în 1820 pentru curent continuu. Din legea lui Ampère rezultă că conductoarele paralele cu curenți electrici care circulă într-o direcție se atrag, iar în direcții opuse se resping. Legea lui Ampère se mai numește și legea care determină forța cu care acționează un câmp magnetic asupra unui segment mic al unui conductor purtător de curent. Forța se dovedește a fi dependentă liniar atât de curent, cât și de inducția magnetică . Expresia forței cu care acționează câmpul magnetic asupra elementului de volum al unui conductor cu densitate de curent , situat într-un câmp magnetic cu inducție , în Sistemul Internațional de Unități (SI) are forma: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Dacă curentul trece printr-un conductor subțire, atunci , unde este „elementul de lungime” al conductorului - un vector egal în valoare absolută și care coincide în direcția curentului. Apoi expresia pentru forță este rescrisă ca . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}}$

Conținutul fizic al legii lui Ampère

Legea lui Ampère este înțeleasă ca un set de enunțuri și formule care caracterizează efectul de forță asupra unui conductor purtător de curent dintr-un câmp magnetic - eventual creat de un alt conductor purtător de curent. Legea definește:

forța influenței unui segment mic al unui conductor cu curent asupra altui segment mic cu curent : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $eu_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, unde și sunt vectorii de rază ai elementelor de lungime ale conductorilor și , și este forța elementului (creând un câmp în punctul ) asupra elementului ; este constanta magnetică;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

forța de interacțiune a două bucle închise conducătoare de forma și cu curenții și : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $eu_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)} \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, unde și sunt vectorii de rază care trec prin toate punctele contururilor , , și este forța cu care conturul-1 acționează asupra conturului-2. De fapt, aceasta este integrarea expresiei din paragraful anterior;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

forța cu care acționează câmpul magnetic asupra unui segment de conductor cu curent (A), a unei secțiuni plane cu curent (A/m) sau a unui volum mic cu curent (A/m 2 ): $dl$ $eu$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ ori {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\time {\vec {B}}

. Direcția forței este determinată de regula de calcul a produsului încrucișat . Modulul său în cazul unui fir este ca , unde este unghiul dintre și direcția curentului. Forța este maximă atunci când conductorul este perpendicular pe liniile de inducție magnetică ( ). Integrarea vă va permite să obțineți forța câmpului asupra obiectului în ansamblu.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alfa

{\vec {B}}

\alpha =90^{\circ }

Cazul a doi conductori paraleli

Cel mai faimos exemplu care ilustrează forța Ampère este următoarea problemă. În vid, doi conductori paraleli infiniti sunt amplasați la distanță unul de celălalt, în care curenții și curg în aceeași direcție . Este necesar să se găsească forța care acționează pe unitatea de lungime a conductorului. $r$ $I_1$ $eu_{2}$

În conformitate cu legea Biot-Savart-Laplace, un conductor infinit cu curent într-un punct aflat la distanță creează un câmp magnetic cu inducție $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

unde este constanta magnetică , este un vector unitar de-a lungul unui cerc a cărui axă de simetrie este un fir cu curent . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Conform legii lui Ampere, găsim forța cu care primul conductor acționează asupra unei mici secțiuni a celui de-al doilea: $d{\vec {l)}$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).

După regula mâinii stângi, aceasta este îndreptată către primul conductor (în mod similar, forța care acționează asupra primului conductor este îndreptată către al doilea conductor). Prin urmare, conductorii sunt atrași. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Modulul acestei forțe ( este distanța dintre conductori): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Se integrează pe secțiunea lungimii conductorului (limite de integrare de la 0 la ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

Dacă - lungimea unității, atunci această expresie stabilește forța de interacțiune dorită. $L$

Formula rezultată este utilizată în SI pentru a stabili valoarea numerică a constantei magnetice . Într-adevăr, amperul , care este una dintre unitățile de bază ale SI, este definit în el ca „puterea unui curent neschimbător, care, atunci când trece prin doi conductori rectilinii paraleli de lungime infinită și o zonă a secțiunii transversale circulare nesemnificativ de mică, situată în vid la o distanță de 1 metru unul de celălalt, cauzat pe fiecare secțiune a conductorului de 1 metru lungime, forța de interacțiune egală cu 2⋅10 −7 Newton " [1] . $\mu_0$

Astfel, din formula obținută și definiția amperului, rezultă că constanta magnetică este egală cu H / A² sau, ceea ce este același, H / m exact . $\mu_0$ $4\pi \times 10^{{-7}}$ $4\pi \times 10^{{-7}}$

Manifestări ale legii lui Ampère

Deformarea electrodinamică a anvelopelor (conductoarelor) de curent alternativ trifazat la substații sub influența curenților de scurtcircuit .
Împingerea în afară a conductorilor tunurilor cu șină atunci când sunt trase.

Aplicație

Orice noduri din inginerie electrică, unde sub influența unui câmp electromagnetic există o mișcare a oricăror elemente, utilizează legea lui Ampère. Principiul de funcționare al mașinilor electromecanice (mișcarea unei părți a înfășurării rotorului în raport cu o parte a înfășurării statorului ) se bazează pe utilizarea legii lui Ampère, iar cea mai răspândită și utilizată unitate în aproape toate structurile tehnice este un motor electric , sau , care din punct de vedere structural este aproape același, un generator . Rotorul se rotește sub influența forței Ampere, deoarece câmpul magnetic al statorului îi afectează înfășurarea, punându-l în mișcare. Orice vehicul electric folosește forța Amperi pentru a roti arborii pe care sunt amplasate roțile (tramvaie, mașini electrice, trenuri electrice etc.).

De asemenea, câmpul magnetic pune în mișcare mecanismele încuietorilor electrice (uși electrice, porți culisante, uși de lift). Cu alte cuvinte, orice dispozitive care funcționează cu energie electrică și au părți mobile se bazează pe exploatarea legii lui Ampère.

De asemenea, își găsește aplicație în multe alte tipuri de inginerie electrică , de exemplu, într-un cap dinamic (difuzor): într-un difuzor (difuzor), un magnet permanent este folosit pentru a excita o membrană care generează vibrații sonore și sub acțiunea un câmp electromagnetic creat de un conductor apropiat cu curent, acționează forța Ampere, care se modifică în funcție de frecvența dorită a sunetului.

De asemenea:

compresie electrodinamică cu plasmă ; de exemplu, în tokamak -uri , setări Z-pinch .
Metoda electrodinamică de presare .
Pompă electromagnetică

Forța amperului și a treia lege a lui Newton

Să fie doi conductori subțiri cu curenți și , având formă de curbe și , care sunt dați de vectori cu rază și . $I_1$ $eu_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

Pentru forțele de interacțiune ale secțiunilor infinit mici ale acestor conductori , a treia lege a lui Newton nu este îndeplinită. Și anume, forța Ampère pentru impactul elementului primului conductor asupra elementului celui de-al doilea nu este egală cu forța luată cu semnul opus, care acționează din elementul celui de-al doilea conductor asupra elementului primului : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Iată și câmpul creat de secțiunea primului și, respectiv, secțiunea celui de-al doilea fir. Acest fapt nu compromite în niciun fel dinamica lui Newton, deoarece curentul continuu poate circula doar într-un circuit închis - și, prin urmare, a treia lege a lui Newton trebuie să funcționeze numai pentru forțele cu care interacționează doi conductori de curent închisi. Spre deosebire de elementele individuale, legea lui Newton este valabilă pentru bucle închise: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

unde și este câmpul creat în întregime de primul și în întregime de al doilea fir (și nu de secțiunile lor individuale). Câmpul în fiecare caz este găsit folosind formula Biot-Savart-Laplace . $\mathbf {B} _{1}$ $\mathbf {B} _{2)$

prezentare mai detaliata

Să fie doi conductori subțiri cu curenți și , având formă de curbe și , care sunt dați de vectori cu rază și . Forța care acționează asupra elementului curent al unui fir din partea elementului curent al celuilalt fir se găsește conform legii Biot-Savart-Laplace: elementul curent situat în punct creează un câmp magnetic elementar în punctul respectiv. $I_1$ $eu_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1)$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Conform legii lui Ampère, forța care acționează din partea câmpului asupra elementului curent situat în punctul este egală cu $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Elementul curent situat în punct creează un câmp magnetic elementar în punct $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Forța Amperi care acționează din partea câmpului asupra elementului curent situat în punctul este egală cu $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1)$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

În cazul general, pentru arbitrare și forțe și nici măcar nu sunt coliniare, ceea ce înseamnă că nu se supun legii a treia a lui Newton: . ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Acest rezultat, totuși, nu indică eșecul dinamicii lui Newton în acest caz. În general, curentul continuu poate curge numai într-o buclă închisă. Prin urmare, cea de-a treia lege a lui Newton ar trebui să se aplice numai forțelor cu care interacționează doi conductori închisi purtători de curent. Se poate observa că pentru doi astfel de conductori este îndeplinită a treia lege a lui Newton.

Lasă curbele și fii închis. Apoi curentul creează un câmp magnetic în punctul respectiv $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

unde integrarea peste se realizează în sensul curgerii curentului . Forța Amperi care acționează din partea câmpului pe circuitul cu curent este egală cu $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $eu_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

unde integrarea peste se realizează în sensul curgerii curentului . Ordinea integrării nu contează. $C_{2}$ $eu_{2}$

În mod similar, forța Ampère care acționează din partea câmpului creat de curentul de pe circuit cu curentul este egală cu $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $eu_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Egalitatea este echivalentă cu egalitatea $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Pentru a demonstra această ultimă egalitate, rețineți că expresia pentru forța Ampère este foarte similară cu expresia pentru circulația unui câmp magnetic într-un circuit închis, în care produsul punctual exterior este înlocuit cu produsul încrucișat.

Folosind identitatea Lagrange, produsul vectorial dublu din partea stângă a egalității care se dovedește poate fi scris după cum urmează:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Apoi partea stângă a egalității care se dovedește ia forma:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Luați în considerare separat integrala , care poate fi rescrisă în următoarea formă: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ unt \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Schimbând variabila din integrala interioară în , unde vectorul se modifică de-a lungul unui contur închis , aflăm că integrala interioară este circulația câmpului de gradient de-a lungul unui contur închis. Deci este egal cu zero: $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1)$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Aceasta înseamnă că întreaga integrală dublă curbilinie este egală cu zero. În acest caz, forța se poate scrie: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)} \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Expresia forței poate fi derivată din expresia forței , pur și simplu din considerații de simetrie. Pentru a face acest lucru, vom înlocui indicii: schimbăm 2 cu 1 și 1 cu 2. În acest caz, pentru forță, putem scrie: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)} \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Acum este destul de evident că . Aceasta înseamnă că forța Ampère satisface a treia lege a lui Newton în cazul conductoarelor închise. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Câteva aspecte istorice

Detectarea efectului

În 1820, Hans Christian Oersted a descoperit că un fir care transportă curent creează un câmp magnetic și face ca acul busolei să se devieze. El a observat că câmpul magnetic era perpendicular pe curent și nu paralel cu acesta, așa cum era de așteptat. Ampère, inspirat de demonstrația experimentului lui Oersted, a descoperit că doi conductori paraleli care transportă curent sunt atrași sau respinși, în funcție de faptul că curentul curge în aceleași direcții sau opuse. Deci curentul nu numai că produce un câmp magnetic, dar câmpul magnetic acţionează asupra curentului. Deja la o săptămână după ce Oersted și-a anunțat experiența, Ampère a oferit o explicație: conductorul acționează asupra magnetului, deoarece curentul circulă în magnet pe multe căi mici închise [2] [3] .

Selectarea formulei de forță

Legea interacțiunii a doi curenți electrici elementari, cunoscută sub numele de legea lui Ampère, a fost de fapt propusă ulterior de Grassmann (adică ar fi mai corect să o numim legea lui Grassmann).

Legea lui Ampère inițială avea o formă ușor diferită: forța care acționează din partea elementului curent situat în punctul de pe elementul curent situat în punctul respectiv este egală cu $I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1)$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \peste 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\right)

Forța care acționează din partea elementului curent situat în punctul pe elementul curent situat în punctul poate fi obținută din formula forței pur și simplu din considerente de simetrie, prin înlocuirea indicilor: 2 cu 1 și 1 cu 2. $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1)$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

În acest caz , adică legea lui Ampère originală satisface a treia lege a lui Newton deja pentru forma diferențială. Ampère, după ce a încercat o serie de expresii, s-a hotărât doar pe aceasta. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Dacă, atunci când luăm în considerare orice sarcină de calculare a forței de interacțiune a curenților deschisi (de fapt, neconstanți), este imposibil să suportăm o încălcare a celei de-a treia legi a lui Newton, există o opțiune de a folosi legea lui Ampère inițială. În cazul legii Grassmann, o entitate fizică suplimentară, câmpul magnetic, trebuie inclusă în considerație pentru a compensa nerespectarea celei de-a treia legi.

Se poate dovedi că în forma integrală a legii lui Ampère inițiale, forțele cu care interacționează doi conductori închisi cu curenți continui sunt aceleași ca în legea lui Grassmann.

dovada

Pentru a demonstra acest lucru, scriem forța sub următoarea formă: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)} \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

Evident, pentru ca forța să se dovedească a fi aceeași ca în legea lui Grassmann, este suficient să demonstrăm că al doilea termen este egal cu zero. În plus, vom lua în considerare al doilea termen fără coeficienți în fața semnelor integralelor, deoarece acești coeficienți nu sunt egali cu zero în cazul general și, prin urmare, integrala dublă curbilinie în sine trebuie să fie egală cu zero.

Deci, să notăm . Și trebuie să dovediți asta $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Să presupunem că integrarea se realizează mai întâi de-a lungul conturului . În acest caz, este posibil să se facă o schimbare a variabilei: , unde vectorul se modifică într-o buclă închisă . Atunci se poate scrie ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1)$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Acum, la integrarea peste contur , se va obține o funcție vectorială a , care va fi apoi integrată peste contur . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Se poate dovedi că poate fi reprezentat ca , unde ambii gradienți sunt preluați asupra variabilei . Dovada este banală, este suficient să efectuați procedura de luare a gradienților. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{unu})$ $\mathbf {r}$

În plus, conform identității Lagrange, putem scrie:

{\begin{aliniat}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{aliniat}}.

Aici, zero s-a dovedit a fi un rotor de câmp de gradient. Rezultatul este diferența totală a funcției vectoriale

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Deci, acum îl putem reprezenta ca . Această integrală poate fi luată prin integrarea fiecărei proiecții separat. De exemplu, să integrăm proiecția x. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }X).

Integrala diferenţialului total peste orice buclă închisă este egală cu zero: , prin urmare va lua forma: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ $P_{x)$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

De data aceasta trebuie să integrăm mai întâi peste contur . Să facem o schimbare a variabilei: , unde vectorul se modifică de-a lungul unui contur închis . Atunci se poate scrie $C_{1}$ $\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2)$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

unde gradientul este preluat din nou asupra variabilei . $\mathbf {r}$

Deoarece circulația câmpului de gradient de-a lungul unui contur închis a apărut din nou în expresie, atunci . $P_{x}=0$

În mod similar, putem scrie pentru celelalte două proiecții:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Deci . $\mathbf {P} =0$

Maxwell a propus cea mai generală formă a legii de interacțiune a doi conductoare elementare cu curentul, în care coeficientul k este prezent (nu poate fi determinat fără unele ipoteze bazate pe experimente în care curentul activ formează o buclă închisă) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aliniat}}\right).

În teoria sa , Ampère a luat , a spus Gauss , ca Grassmann și Clausius . În teoriile electronice non-etereice , Weber a adoptat și Riemann a adoptat . Ritz a rămas nedefinit în teoria sa. $k=-1$ $k=+1$ $k=-1$ $k=+1$ $k$

Pentru forța de interacțiune a două contururi închise și cu o expresie standard se obține. $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

detalii de calcul

{\begin{aliniat}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \peste 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\dreapta)\\\end{aliniat}}.

Aici, primii doi termeni au fost combinați conform identității Lagrange, în timp ce al treilea termen, atunci când este integrat peste contururi închise , va da zero. Într-adevăr, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Astfel, obținem forma legii lui Ampère dată de Maxwell:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)} \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Deși forța este întotdeauna aceeași pentru diferite , momentul forțelor poate varia. De exemplu, atunci când două fire infinite încrucișate în unghi drept interacționează, forța de interacțiune va fi zero. Dacă calculăm momentul forțelor care acționează asupra fiecărui fir folosind formula Grassmann, niciuna dintre ele nu va fi egală cu zero (deși vor fi egale cu zero în total). Dacă calculăm momentul forțelor conform legii lui Ampère inițiale, fiecare dintre ele va fi egală cu zero. $k$

Legea lui Ampère ca efect relativist

Curentul electric dintr-un conductor este mișcarea sarcinilor față de alte sarcini. Această mișcare duce la efecte în SRT , care în fizica clasică sunt explicate printr-o entitate fizică separată - magnetismul. În SRT, aceste efecte nu necesită introducerea magnetismului și, în prima aproximare, este suficient să luăm în considerare interacțiunile Coulomb. Pentru a descrie legea lui Ampère în SRT, un conductor metalic este descris printr-o linie dreaptă cu o anumită densitate liniară a sarcinilor pozitive și o linie dreaptă cu sarcini mobile. Sarcina este invariantă , astfel încât efectul contracției lungimii lorentziane creează o diferență între densitatea sarcinilor pozitive și negative într-un fir metalic inițial neutru. De aici apariția unei forțe de atracție sau de respingere între doi conductori purtători de curent. [5] [6]

Note

↑ GOST 8.417-2002. Sistem de stat pentru asigurarea uniformității măsurătorilor. Unități de mărime. (link indisponibil) . Consultat la 7 noiembrie 2012. Arhivat din original pe 10 noiembrie 2012. (nedefinit)
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. Căutarea unității: aventura fizicii . - New York: Oxford University Press, 1999. - S. 43-44 . — ISBN 0-19-512085-X .
↑ Roger G Newton. De la mecanismul de ceas la crapshoot: o istorie a fizicii . - The Belknap Press of Harward University Press, 2007. - P. 137 . - ISBN 978-0-674-03487-7 .
↑ Maxwell, James Clerk. Tratat de electricitate și magnetism. - Oxford, 1904. - S. 173.
↑ Cursul 1. Magnetostatică. Natura relativistă a câmpului magnetic. // Universitatea Politehnică din Sankt Petersburg Petru cel Mare (SPbPU) . Preluat la 27 decembrie 2018. Arhivat din original la 28 decembrie 2018. (nedefinit)
↑ Savelyev I.V. Curs de fizică generală: Proc. indemnizatie. În 3 vol. T. 2. Electricitate şi magnetism. Valuri. Optica. - Ed. a 3-a, Rev. — M.: Nauka. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1988. - 496 p. p.120