Derivată invariantă în raport cu timpul

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2021; verificările necesită 6 modificări .

Derivata de timp invariantă este derivata de timp a unui cadru inerțial . În cadrul inerțial însuși, derivata în timp invariantă este pur și simplu derivata în timp obișnuită: . Într -un sistem non-inerțial , derivata de timp invariantă constă din suma derivatei de timp obișnuite și a termenilor suplimentari legați de viteza sistemului neinerțial față de cel inerțial. Câmpul de viteză poate fi neomogen și depinde în general de timp . Deci, de exemplu, într-un sistem non-inerțial asociat cu o roată care se rotește neuniform , câmpul de viteză este neuniform în ${\frac {\partial }{\partial t))$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $V^i$ $V^{i}(x)$ $V^{i}(x,t)$ spatiu si timp. Deoarece câmpul vitezelor este viteza relativă de mișcare a sistemelor de coordonate, care nu sunt obiecte materiale, această viteză poate depăși viteza luminii în mărime și chiar poate fi infinită. În acest caz, desigur, nu există nicio contradicție cu teoria specială a relativității (SRT). De exemplu, câmpul de viteză al unui sistem non-inerțial asociat cu o roată care se rotește depășește viteza luminii la o distanță suficient de mare de centrul de rotație și tinde spre infinit cu o distanță mai mare de centru. $V^{i}(x,t)$

Notăm prin coordonatele din cadrul inerțial și prin coordonatele din cadrul non-inerțial. Atunci viteza de mișcare a sistemului neinerțial în raport cu cel inerțial este ${\bara {x}}$ $x({\bar {x)),t)$

$V^{i}(x,t)={\frac {\partial x^{i}({\bar {x)),t)}{\partial t))$

Derivata în timp invariantă a unui scalar într-un cadru non-inerțial este: $F(x,t)$

$D_{t}F(x,t)={\frac {\partial F}{\partial t)}+{\frac {\partial F}{\partial x^{i)}}{\frac {\partial x^{i}}{\partial t}}={\frac {\partial F}{\partial t}}+V^{i}(x,t){\frac {\partial F}{ \partial x^{i}}}$ .

Derivata invariantă în timp a tensoarelor are termeni suplimentari asociați cu transformarea componentelor lor la trecerea de la un sistem de coordonate la altul . Deci, de exemplu, pentru vectori și covectori avem: ${\bar {x}}\la x({\bar {x}},t)$

$A^{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}{\bar {A}}^{j}$ ;

$A_{i}={\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}}{\bar {A}}_{j}$ .

Prin urmare,

${\displaystyle D_{t}A^{i}={\frac {\partial A^{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A^{i}}{ \partial x^{j))}-A^{j}{\frac {\partial V^{i)){\partial x^{j))))$ ;

$D_{t}A_{i}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+V^{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x ^{j}}}+A_{j}{\frac {\partial V^{j}}{\partial x^{i}}}$ .

Derivatele de timp invariante ale tensoarelor de rang superior sunt calculate în mod similar.

O proprietate importantă a derivatei de timp invariante este că toate derivatele în ceea ce privește coordonatele spațiale din partea dreaptă a expresiilor de mai sus pot fi înlocuite cu derivate covariante compatibile cu metrica spațială , i.e. ${\frac {\partial }{\partial x^{i)}}$ $dl^{2}=\gamma _{ij}dx^{i}dx^{j)$

$D_{t}A^{i}=\partial _{t}A^{i}+V^{j}A_{;j}^{i}-A^{j}V_{;j} ^{i}$ ,

$D_{t}A_{i}=\partial _{t}A_{i}+V^{j}A_{i;j}+A_{j}V_{;i}^{j)$ ,

aici termenii cu conexiunile Christoffel se anulează reciproc.

„Adăugările” considerate mai sus la derivatele de timp obișnuite sunt Lie - variații (sau, cu alte cuvinte, derivate Lie ) ale câmpurilor tensorale de-a lungul unui câmp vectorial , care au fost studiate de remarcabilul matematician norvegian Sophus Lie (1842-1899). $V^i$

Cunoscutele accelerații centrifuge și Coriolis care apar într-un sistem rotativ neinerțial sunt termeni suplimentari în derivata în timp invariantă a vectorului viteză a unui punct material în mișcare.

Literatură

D. E. Burlankov, Dinamica spațiului. Monografie 2005 179 p.