Derivată în timp

Derivată în timp este derivata unei funcții în raport cu timpul , de obicei interpretată ca rata de modificare a valorii funcției. [1] Timpul este de obicei notat cu variabila . $t$

Notație

Mai multe notații sunt folosite pentru a desemna derivata în timp. Pe lângă notația obișnuită (leibniziană),

{\frac {dx}{dt)}

Foarte des, în special în fizică, se folosește o notație prescurtată cu un punct peste o variabilă:

\dot{x}

(așa-numita notație newtoniană).

Derivatele mai mari în raport cu timpul sunt notate după cum urmează:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2)})

sau în formă prescurtată: . ${\ddot {x}}$

În cazul derivatelor temporale de ordin superior, notația newtoniană nu este în general utilizată.

Mai general, derivata în timp a unui vector este:

{\vec {V}}=\left[v_{1},\v_{2},\v_{3},\cdots \right]\ ,

este definit ca un vector cu componente care sunt derivate ale componentelor corespunzătoare ale vectorului original. Acesta este

{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt} },{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ .

Aplicații în fizică

Derivatele timpului sunt unul dintre conceptele cheie în fizică. De exemplu, pentru un vector cu rază , derivata în timp este viteza sa , iar derivata a doua este accelerația sa . A treia derivată în raport cu timpul este cunoscută sub numele de smucitură . $X$ $\dot{x}$ ${\ddot {x}}$

Un număr mare de ecuații din fizică sunt derivate în timp a unui vector, cum ar fi viteza sau deplasarea. Multe alte cantități fundamentale din știință sunt corelate ca derivate în timp una de cealaltă:

forța este derivata în timp a impulsului
puterea este derivata în timp a energiei
Puterea curentului este derivata în timp a sarcinii electrice

Aplicație în economie

În economie, multe modele teoretice ale evoluției diverselor variabile economice folosesc derivate în timp.

Note

↑ Chiang, Alpha C., Fundamental Methods of Mathematical Economics , McGraw-Hill, ediția a treia, 1984, cap. 14, 15, 18.