Topologie indusă

Topologia indusă este o modalitate naturală de definire a unei topologii pe un subset al unui spațiu topologic.

Definiție

Fie dat un spațiu topologic , unde este o mulțime arbitrară și este o topologie definită pe . Lasa si . Definim o familie de submulțimi după cum urmează: $(X,\;\mathcal{T})$ $X$ $\mathcal{T}$ $X$ $Y\subset X$ ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$

{\mathcal {T}}_{Y}=\{U\cap Y\mid U\in {\mathcal {T}}\}.

Este ușor să verificați pe ce se află topologia . Această topologie se numește topologie indusă . Un spațiu topologic se numește subspațiu . ${\mathcal {T}}_{Y}$ $Y$ $\mathcal{T}$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $(X,\;\mathcal{T})$

Această construcție poate fi generalizată. Fie o mulțime arbitrară, un spațiu topologic și o mapare arbitrară în . Apoi luăm pe cât posibil toate mulțimile posibile de forma ( ), unde sunt mulțimi deschise în . Topologia se numește topologie indusă de mapare . Este bine pentru că afișarea în această topologie devine automat continuă. Este cea mai slabă (conține cele mai puține seturi) dintre toate topologiile spațiale posibile pentru care maparea va fi continuă. $X$ $(Y,\;{\mathcal {T}}_{Y})$ $f:X\la Y$ $X$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f^{-1}$ $V$ $V$ $Y$ ${\mathcal {T}}_{X}$ $f$ $f$ $X$ $f$

Exemplu

Să fie dată o linie reală cu topologie standard . Atunci topologia indusă ultima pe mulțimea tuturor numerelor naturale este discretă . $\mathbb {R}$ $\mathbb {N} \subset \mathbb {R}$