Vinogradov integral

Integrala Vinogradov este o integrală multiplă a formei

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

Unde

S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

care este valoarea medie a puterii 2k a modulului sumei trigonometrice. Teorema lui Vinogradov asupra valorii acestei integrale, teorema valorii medii, stă la baza estimărilor sumelor Weyl . Integrala este utilizată în rezolvarea problemelor de teoria analitică a numerelor [1] .

Valoarea integralei Vinogradov corespunde numărului de soluții ale următorului sistem de ecuații:

{\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

unde necunoscutele pot lua valori întregi de la 1 la [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots,x_{k},y_{1},\ldots,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Note

↑ 1 2 V. N. Chubarikov. Formule asimptotice pentru integrala lui I. M. Vinogradov și generalizările ei // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Teoria numerelor, analiza matematică și aplicațiile acestora. Culegere de articole. Dedicat lui I. M. Vinogradov, membru al Academiei de Științe cu ocazia împlinirii a 90 de ani de naștere : [ ing. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennady I. Arkhipov, Vladimir N. Chubarikov, Anatoly A. Karatsuba. Sume trigonometrice în teoria și analiza numerelor . — Walter de Gruyter, 2004-01-01. - P. 80. - 565 p. — ISBN 9783110197983 .

Literatură

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. O nouă estimare pentru integrala lui I. M. Vinogradov // Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. mat. - 1978. - Nr. 42. - S. 751-762.
Vinogradov integral // Enciclopedia matematică. Vol. 1 / Cap. ed. I. M. Vinogradov. — M.: Enciclopedia sovietică. — 1977.
Vinogradov I. M. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor. — M.: Nauka, 1971.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare