Teorema valorii medii a lui Vinogradov

Teorema valorii medii a lui Vinogradov este o teoremă a teoriei analitice a numerelor privind estimarea valorii medii a integralei unor sume trigonometrice , numită și integrală a lui Vinogradov ; rezultat cheie utilizat în metoda sumelor trigonometrice . Teorema este de interes, în special, deoarece integrala estimată în ea este egală cu numărul de soluții în numere întregi dintr-un interval suficient de mare al unui sistem de ecuații de formă specială.

Denumirile adoptate în articol

Deoarece teorema se referă direct la sume trigonometrice (și, prin urmare, exponenți cu exponent complex ), pentru concizie și comoditate vom folosi notația , unde poate fi orice număr. $e\left({\alpha }\right)=e^{2\pi \alpha i)$ $\alpha \in {\mathbb {R} }$

Descrierea generală a problemei

Să fie date numere naturale fixe . Luați în considerare sistemul de ecuații $n,k$

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\dots +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\puncte +{y_{k}}^{2}\\\puncte \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ puncte +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\puncte +{y_{k}}^{n}\end {matrice}}\dreapta.

sau, mai formal,

\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}=\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j} }^{i}},i=1,\puncte,n

Necesitatea de a lua în considerare un astfel de sistem apare, de exemplu, în soluția analitică a problemei lui Waring , dar poate fi aplicat (în formulări modificate) în alte domenii.

Dacă notăm cu numărul de soluții întregi ale sistemului specificat în , atunci întrebarea principală este formulată după cum urmează: cât de repede crește odată cu creșterea ? $J_{k,n}(P)$ $x_{i},y_{i}\in [1;P],i=1,\dots,k$ $J_{k,n}(P)$ $P$

O estimare banala ar fi evident $J_{k,n}(P)\leq P^{2k)$

Teorema lui Vinogradov dă estimări directe (nu asimptotice ), mult mai bune decât cele banale, de sus cu privire la cantitatea pentru fix și . $J_{k,n}(P)$ $k$ $n$

Formulare integrală

Ca de obicei atunci când se utilizează sume trigonometrice , condiția ca variabilele să corespundă ecuației poate fi exprimată prin identitate

{\Bigg [}\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{ {y_{j}}^{i}}=0{\Bigg ]}=\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1 }^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\dreapta)d\alpha }

Prin urmare, numărul de soluții ale sistemului de ecuații satisface expresia

J_{n,k}(P)=\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\leq P}{\prod \limits _{i=1}^{n} {\int \limits _{0}^{1}{e\left({\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}- \sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha }\right)d\alpha }}}=\sum \limits _{1 \leq x_{j},y_{j}\leq P}\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{e\left({\sum \ limite _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j}}^{i}}-\sum \limits _{j =1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n }=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_{j},y_{j}\ leq P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{{x_{j))^{ i}}-\sum \limits _{j=1}^{k}{{y_{j}}^{i}}}\right)\alpha _{i}}}\right)}d\alpha _ {1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{\sum \limits _{1\leq x_ {j},y_{j}\leq P}e{\left({\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i=1}^{n }{x_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}-\sum \limits _{j=1}^{k}{\left({\sum \limits _{i= 1}^{n}{y_{j}}^{i}\alpha _{i}}\right)}}\right)}}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}=

=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert }{\sum \limits _{x=1}^{ P}e\left({\sum \limits _{i=1}^{n}{\alpha _{i}x^{i))}\right)}{\Bigg \vert }^{2k)) d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}=\int \limits _{0}^{1}\dots \int \limits _{0}^{1}{{\Bigg \vert } {\sum \limits _{x=1}^{P}e\left({\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\dots +\alpha _{k}x^ {k}}\right)}{\Bigg \vert }^{2k}}d\alpha _{1}\dots d\alpha _{n}

Astfel, valoarea dorită este estimată prin integrala peste sumele Weyl și poate fi estimată folosind metode comune acestor sume.

Enunțuri ale teoremei

Deși principalul avantaj al teoremei este limitarea ordinii de creștere în raport cu , factorul constant (pentru fix și ) care însoțește această ordine de creștere poate fi, de asemenea, exprimat în mod explicit în demonstrație. $J_{k,n}(P)$ $P$ $k$ $n$

În plus, estimările obținute în teoremă se dovedesc a fi cu atât mai bune, cu cât parametrul depășește mai mult parametrul . Prin urmare, se introduce de obicei un parametru suplimentar , care exprimă raportul sau, într-un alt mod, parametrizând creșterea în raport cu . $k$ $n$ $\tau$ ${\frac {k}{n)}$ $k$ $n$

În acest sens, dar și datorită complexității demonstrațiilor teoremei și a numărului mare de detalii din aceasta, în diverse formulări ale teoremei, constantele utilizate și expresiile depind doar de și pot diferi. În special, valorile unor astfel de factori au scăzut, iar restricțiile asupra valorilor au fost relaxate în momente diferite de diferiți matematicieni. $k$ $n$ $(k,n)$

În cartea lui I. M. Vinogradov din 1971, este dată următoarea formulare:

Lasă . Pentru un număr întreg , notează . $n\geq 12$ $\tau$ $k_{\tau }=n\tau +\left\lfloor {{\frac {n(n+1)}{4))+1}\right\rfloor$

Atunci când $k>k_{\tau }$ $J_{k,n}(P)<(20n)^{{\frac {n(n+1)}{2}}\tau}P^{2k-{\frac {n(n+1) ) )}{2}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-{\frac {1}{n}}}\right)^{\tau }}$

Manualul lui A. A. Karatsuba din 1983 demonstrează:

Fie un număr întreg, , . Atunci unde $\tau >0$ $k\geq n\tau$ $P\geq 1$ $J_{k,n}(P)\leq D_{\tau,n}P^{2k-\delta (\tau,n))$

$\delta (\tau ,n)={\frac {n(n+1)}{2}}\left({1-\left({1-{\frac {1}{n}}} \right)^{\tau ))\right)$ ;

$D_{\tau ,n}=(n\tau )^{6n\tau }(2n)^{4n(n+1)\tau }$

Lema principală

Esența afirmației

Problema estimării numărului de soluții ale unui sistem de ecuații

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=y_{1}+y_{2}+\dots +y_{k}\\ {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{k}}^{2}={y_{1}}^{2}+{y_{ 2}}^{2}+\puncte +{y_{k}}^{2}\\\puncte \\{x_{1}}^{n}+{x_{2}}^{n}+\ puncte +{x_{k}}^{n}={y_{1}}^{n}+{y_{2}}^{n}+\puncte +{y_{k}}^{n}\end {matrice}}\dreapta.

este direct legată de întrebarea numărului de soluții ale sistemului

\left\{{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{k}=\lambda _{1}\\{x_{1}}^{2}+ {x_{2}}^{2}+\dots +{x_{k}}^{2}=\lambda _{2}\\\dots \\{x_{1}}^{n}+{x_ {2}}^{n}+\dots +{x_{k}}^{n}=\lambda _{k}\end{matrix}}\right.

la fix . O problemă asemănătoare cu aceasta, dar oarecum facilitată de condiții speciale și relaxarea cerințelor, poate fi rezolvată direct. Rezolvarea unei astfel de probleme este cea care constituie lema principală, care joacă rolul principal în demonstrarea teoremei lui Vinogradov. Condițiile speciale necesare pentru posibilitatea unei soluții directe a problemei sunt următoarele: $\lambda _{1},\dots,\lambda _{k)$

se presupune că numărul de variabile este egal cu numărul de ecuații;
se presupune că variabilele iau valori din intervale diferite, larg separate - adică diferența dintre orice valoare diferită și depășește o valoare predeterminată; $x_{i}$ $x_{j}$
în locul cerinţei de egalitate se analizează cerinţa apartenenţei la un interval relativ scurt, adică pentru un interval dat de lungime mică. ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\dots +{x_{k}}^{s}=\lambda _{s}$ ${x_{1}}^{s}+{x_{2}}^{s}+\dots +{x_{k}}^{s}\în I_{s}$ $I_{s}$

Numărul limitat de soluții în condiții date este evident datorită convexității funcțiilor - într-adevăr, dacă funcția este convexă, iar intervalele sunt semnificativ îndepărtate, atunci diferența dintre valorile derivatei acestei funcții pe aceste intervale este foarte diferit. Aceasta înseamnă că valorile numerelor din al doilea interval vor fi situate pe linia de coordonate mai puțin decât valorile numerelor din primul interval. În consecință, modificări identice (dar direcționate diferit) în unele două variabile implică, în cele mai multe cazuri, o modificare inegală a valorii funcției, astfel încât atunci când suma rămâne într-un anumit interval scurt când variabila se modifică , suma își schimbă valorile . într-un interval foarte mare. Dacă acest interval mare este mai mare decât cel necesar, atunci numărul de soluții va fi în mod corespunzător mic. $x^{2},x^{3},\dots,x^{n)$ $f$ $f$ $x_{1}+x_{2}$ $x_{1}$ $f(x_{1})+f(x_{2})$

Cu toate acestea, considerațiile de convexitate în sine nu sunt utilizate în demonstrația clasică a teoremei, deoarece analizează direct proprietățile puterilor întregi și coeficienții polinoamelor obținute din acestea .

Formulare strictă

Iată formularea din cartea lui Karatsuba. Formularea din cartea lui Vinogradov este similară, doar multiplicatorii care depind de ele sunt ușor diferiți . $n$

Să , , . Să ruleze, de asemenea, prin numere întregi de intervale $n>2,P>{(2n)}^{4n)$ $H={(2n)}^{4}$ $R={\frac {P}{H}}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$

X_{1}<v_{1}\leq Y_{1},\dots ,X_{n}<v_{n}\leq Y_{n},

unde pentru vreo stare avem $\omega$ $0\leq \omega <P$

-\omega <X_{1},\ X_{1}+R=Y_{1},\ Y_{1}+R\leq X_{2},\dots ,X_{n}+R=Y_ {n},Y_{n}\leq -\omega +P

Atunci numărul de sisteme de valori astfel încât sumele se află, respectiv, în orice intervale cu lungimi satisface inegalitatea $E_1$ $v_{1},\dots ,v_{n}$ $V_{1}=v_{1}+\dots +v_{n},\dots ,V_{n}={v_{1}}^{n}+\dots +{v_{n}}^ {n}$ $1,\dots ,P^{n-1}$

E_{1}<e^{r(n)-1}H^{\frac {n(n-1)}{2)),\r(n)=-{\frac {n^{ 2}}{2}}\ln {n}+{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {3}{2}}n

Și dacă se parcurg aceleași valori ca (indiferent de acestea din urmă), atunci numărul de cazuri în care diferențele se află, respectiv, în orice intervale cu lungimi satisface inegalitatea ${v_{1}}^{*},\dots ,{v_{n}}^{*}$ $v_{1},\dots ,v_{n}$ $E$ $V_{1}-{V_{1}}^{*},\dots ,V_{n}-{V_{n}}^{*}$ $P^{1-{\frac {1}{n}}},\dots ,P^{n\left({1-{\frac {1}{n}}}\right))$

E<2e^{r(n)}H^{\frac {n(n-2)}{2}}P^{\frac {3n-1}{2}}

Scurtă prezentare a dovezii

Principala dificultate este demonstrarea estimării pentru . Din aceasta, legatul este derivat trivial. $E_1$ $E$

Fie două sisteme și , ale căror sume de puteri aparțin intervalelor date și . Asta înseamnă de fapt că $(\eta _{1},\dots,\eta _{n})$ $(\eta _{1}+\xi _{1},\dots ,\eta _{n}+\xi _{n})$ $I_{1},\puncte ,I_{n}$ $\xi _{n}>0$

\left\{{\begin{matrix}(\eta _{1}+\xi _{1})-\eta _{1}+\dots +(\eta _{n}+\xi _ {n})-\eta _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\(\eta _{1}+\xi _{1})^{2}-{\eta _ {1}}^{2}+\dots +(\eta _{n}+\xi _{n})^{2}-{\eta _{n}}^{2}=\theta _{2 }|I_{2}|\\\dots \\(\eta _{1}+\xi _{1})^{n}-{\eta _{1))^{n}+\dots +( \eta _{n}+\xi _{n})^{n}-{\eta _{n}}^{n}=\theta _{n}|I_{n}|\end{matrix}} \dreapta.

unde . Dacă substituim expresia în toți termenii și exprimăm conform metodei Cramer prin fracții de formă (dezvăluind în mod explicit determinanții), atunci va rezulta din teorema Lagrange care satisface, pentru unii, soluția sistemului de ecuații. $\eta _{1},\dots,\eta _{n}\in (-1;1)$ $(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s}={\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i}}^{s}}{\xi ^{s}}}\xi ^{s}$ $\xi _{s)$ ${\frac {(\eta _{i}+\xi _{i})^{s}-{\eta _{i))^{s)}{\xi ^{s}))$ $\xi _{s)$ $x_{1}\in (\eta _{1},\eta _{1}+\xi _{1}),\dots,x_{n}\in (\eta _{n},\ eta _{n}+\xi _{n})$

\left\{{\begin{matrix}\xi _{1}+\dots +\xi _{n}=\theta _{1}|I_{1}|\\x_{1}\xi _{1}+\dots x_{n}\xi _{n}=\theta _{2}|I_{2}|\\\dots \\{x_{1}}^{n-1}\xi _{1}+\dots {x_{n}}^{n-1}\xi _{n}=\theta |I_{n}|\end{matrix}}\right.

Matricea de coeficienți a acestui sistem este matricea Vandermonde și este ușor de analizat soluțiile sistemului pe baza expresiei binecunoscute pentru determinantul unor astfel de matrici.

Schema de demonstrare a teoremei

Teorema este demonstrată într-o formulare integrală. Dovada se realizează prin inducție pe și în mai multe etape: $n$ $P$

Intervalul este împărțit într-un anumit număr (în funcție de ) de subintervale, iar suma trigonometrică multiplă sub integrală este descompusă într-un set de astfel de sume pentru fiecare combinație posibilă a unor astfel de intervale; $[1;P]$ $n$ $k$
Toate seturile de subintervale sunt împărțite în două grupuri:
- seturi dintre care există cel puțin astfel încât să nu fie două dintre ele adiacente și să nu coincida; $n$
- toate celelalte seturi.
După aceea, numărul total de soluții este limitat la suma numărului de soluții pentru mulțimile fiecăreia dintre aceste două mulțimi (înmulțit cu constanta 2).
Din primul set de mulțimi, este selectat unul pentru care pătratul modulului sumei trigonometrice este maxim. După aceea, suma tuturor mulțimilor este estimată trivial prin înmulțirea sumei peste cel mai bun set cu numărul de seturi.
Prin inegalitatea dintre mediile aritmetice și geometrice din mulțimea selectată a primului set de variabile, acestea sunt „conduse” într-un singur interval (adică se demonstrează că dacă trec printr-un anumit interval, unul pentru toate, în schimb proprii, atunci numărul soluțiilor nu scade). Adică, în această etapă, sistemul de ecuații este redus la forma când variabilele trec prin intervale diferite, distanțate, iar variabilele trec prin unul și același interval. $2k-2n$ $2k$ $2n$ $2k-2n$
Numărul de soluții ale sistemului de ecuații rezultat este exprimat prin suma peste produsele numărului de reprezentări ale unui anumit număr
Numărul de reprezentări prin diferența dintre sumele variabilelor din aceleași intervale este scos din paranteze și estimat prin ipoteza de inducție (deoarece atât numărul de variabile, cât și intervalul valorilor acestora sunt mici în comparație cu cele inițiale) ; $2k-2n$
După scoaterea factorului din paranteze, expresia pentru numărul de soluții ale ecuației se transformă într-o expresie pentru numărul de soluții ale inegalității care limitează diferența a două sume de putere. Numărul de soluții la această inegalitate este estimat prin lema principală.
Pentru al doilea set de seturi de subintervale, se demonstrează pur și simplu că există foarte puține astfel de mulțimi. În plus, toate variabilele sunt din nou reduse la un interval (dar mai scurt decât ) și acest lucru ne permite deja să aplicăm ipoteza inductivă celor mai bune dintre ele (în sensul celui mai mare număr de soluții). $P$

Aplicații

Din punct de vedere istoric, teorema a fost folosită pentru prima dată în rezolvarea problemei lui Waring , dar uneori este folosită în alte domenii ale teoriei numerelor - de exemplu, pentru a estima sume Kloosterman scurte [1] .

Note

↑ M. A. Korolev, Metode de estimare a sumelor scurte ale lui Kloosterman, Chebyshevsky Sb., 2016, volumul 17, numărul 4, 79-109 . Preluat la 14 ianuarie 2018. Arhivat din original la 10 martie 2018. (nedefinit)

Literatură

Vinogradov, Ivan Matveevici. Metoda sumelor trigonometrice în teoria numerelor. — M .: Nauka, 1971.
Karatsuba, Anatoly Alekseevici. Fundamentele teoriei analitice a numerelor. — M .: Nauka, 1983.