Serii temporale integrate

O serie temporală integrată este o serie temporală non-staționară , diferențele de ordine de la care sunt o serie de timp staționară . Astfel de serii sunt numite și diferență staționară (serie DS, Diferență staționară) . Un exemplu de serie temporală integrată este mersul aleatoriu , adesea folosit în modelarea seriilor temporale financiare.

Definiție

Pentru a defini o serie de timp integrată, este necesar să se definească o clasă de serii temporale numite serie de tendințe staționare (serie TS , serie de tendințe staționare). O serie se numește serie TS dacă există o funcție deterministă f(t) astfel încât diferența să fie un proces staționar. În special, seria TS include toate seriile staționare. Cu toate acestea, multe din seria TS sunt nestaționare. Seria TS include, de asemenea, de exemplu, un model de tendință liniar (determinist) în care eroarea modelului este un proces staționar (de obicei zgomot alb). $x_t$ $x_{t}-f(t)$ $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$

Se spune că o serie de timp este integrată de ordinul k (scris de obicei ) dacă diferențele seriei de ordinul k sunt staționare, în timp ce diferențele de ordin mai mic (inclusiv de ordinul zero, adică seria temporală în sine) nu sunt TS- serie . În particular , I(0) este un proces staționar. $X_{t}$ $X_{t}\sim I(k)$ $\vartriangle ^{k}x_{t}$

Exemplu

Luați în considerare un exemplu - un proces de mers aleatoriu cu deriva (deriva) - un proces integrat de prim ordin $I (1)$

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}$

unde eroarea aleatorie a modelului este zgomotul alb . Primele diferențe ale seriei temporale sunt evident staționare. Să ne imaginăm modelul într-o formă ușor diferită:

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _ {t}=a+a+a+x_{{t-3}}+\varepsilon _{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _{t}=.. .=x_{0}+at+\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i}$

Astfel, o plimbare aleatoare cu deriva arată ca un model de tendință liniară cu o diferență foarte semnificativă - varianța erorii modelului este proporțională cu timpul, adică tinde spre infinit în timp. Mai mult, așteptarea matematică a unei erori aleatoare este zero. Chiar dacă aplicăm procedura de excludere a unei tendințe liniare (deterministe) seriilor de timp, obținem totuși un proces non-staționar - o tendință stocastică. $V(\sum _{{i=1}}^{{t}}\varepsilon _{i})=t\sigma ^{2}$

Integrare și rădăcini unitare

Conceptul unei serii temporale integrate este strâns legat de rădăcinile unitare din modelele autoregresive . Prezența rădăcinilor unitare în polinomul caracteristic al componentei autoregresive a modelului seriei temporale înseamnă că seria temporală este integrată. Mai mult, numărul de rădăcini unitare coincide cu ordinea integrării.

Vezi și

Literatură

Ayvazyan S.A. Statistici aplicate. Fundamentele econometriei. Volumul 2. - M . : Unitate-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometrie. Manual / Ed. Eliseeva I.I. - Ed. a II-a. - M. : Finanțe și statistică, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .