Cointegrare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 iulie 2019; verificările necesită 10 modificări .

Cointegrarea este o proprietate a mai multor serii temporale nestaționare ( integrate ) , care constă în existența unora dintre combinațiile lor liniare staționare . Conceptul de cointegrare a fost propus pentru prima dată de Granger în 1981. În viitor, această direcție a fost dezvoltată de Angle , Johansen, Philips și alții.

Cointegrarea este o proprietate importantă a multor variabile economice, ceea ce înseamnă că, în ciuda naturii aleatoare (prost previzibile) a modificării variabilelor economice individuale, există o relație pe termen lung între ele, ceea ce duce la o schimbare comună, interconectată. De fapt, vorbim despre un model de corectare a erorilor (ECM – Error Correction Model) – când modificările pe termen scurt sunt corectate în funcție de gradul de abatere de la relația pe termen lung dintre variabile. Acest comportament este inerent seriilor temporale cointegrate.

Definiții

Cointegrare. Ecuația de cointegrare

Definiție formală. Să fie un set de serii de timp, fiecare dintre ele fiind un proces integrat de ordinul întâi . Se spune că aceste serii temporale sunt cointegrate dacă există un vector astfel încât seria temporală este un proces staționar, adică . Vectorul se numește vector de cointegrare . În mod evident , înmulțirea unui vector de cointegrare cu un număr arbitrar nu schimbă natura de cointegrare a acestui vector (deoarece înmulțirea cu un număr arbitrar nu modifică staționaritatea procesului). Prin urmare, vectorul de cointegrare poate fi parametrizat după cum urmează . În acest caz, obținem ecuația de cointegrare (CE) : $y_{t}=(y_{{1t}},y_{{2t}},...,y_{{kt}})^{T}$ $y_{{it}}\sim I(1)$ $a=(a_{1},a_{2},...,a_{k})^{T}$ $\varepsilon _{t}=a^{T}y_{t}=\sum _{{i=1}}^{k}a_{i}y_{{it}}$ $\varepsilon _{t}\sim I(0)$ $A$ $a=(1,-a_{2},-a_{3},...,-a_{k})^{T}$

$y_{{1t}}=\sum _{{i=2}}^{k}a_{i}y_{{it}}+\varepsilon _{t}~,~~~\varepsilon _{t}$ -proces staționar

Ecuația de cointegrare a seriilor non-staționare este un analog al modelului de regresie al seriilor staționare.

spațiu de cointegrare. Rang de cointegrare

De asemenea, este evident că, dacă există mai mulți vectori de cointegrare, atunci o combinație liniară arbitrară a acestor vectori va fi, de asemenea, un vector de cointegrare (deoarece o combinație liniară de serii staționare este și o serie staționară). În consecință, se vorbește despre spațiul vectorilor de cointegrare - spațiul de cointegrare . Dimensiunea acestui spațiu se numește rangul de cointegrare . Rangul de cointegrare este de fapt numărul maxim de vectori de cointegrare liniar independenți sau ecuații de cointegrare. Dacă rangul de cointegrare este egal cu numărul de serii de timp, atunci aceste serii de timp sunt staționare. Un rang de cointegrare zero înseamnă că nu există cointegrare.

Dacă seriile de timp sunt cointegrate, atunci pentru astfel de serii ecuația de cointegrare poate fi estimată prin metoda uzuală a celor mai mici pătrate. În acest caz, se obțin nu doar estimări consistente (ca în cazul regresiei clasice), ci estimări super -consistente ale parametrilor modelului (o rată semnificativ mai mare de convergență la valoarea adevărată cu o creștere a dimensiunii eșantionului). În absența cointegrării, construirea de modele de regresie de serii temporale nestaționare (integrate) între ele poate duce la o regresie falsă . Acest lucru se datorează faptului că în cazul general (când nu există cointegrare) o eroare aleatorie într-un model de regresie similar cu ecuația de cointegrare nu este un proces staționar. Aceasta înseamnă că estimările rezultate ale parametrilor unor astfel de modele, precum și estimările caracteristicilor statistice ale acestor estimări ale parametrilor modelelor, pot fi părtinitoare, inconsecvente și ineficiente. Prin urmare, conform statisticilor eșantionului, se poate face o presupunere incorectă despre prezența unei conexiuni unde, de fapt, nu există.

Generalizare

Conceptul de cointegrare admite următoarea generalizare. Fie serii de timp, fiecare dintre acestea fiind un proces integrat de ordin p, adică . Atunci aceste serii temporale se numesc cointegrate de ordinul p, q (scris ) dacă există un vector diferit de zero astfel încât combinația liniară să fie un proces . Definiția clasică a cointegrării este un caz special pentru , adică . $y_{t}^{i},i=1..k$ $y_{t}^{i}\sim I(p)$ $y_{t}\sim CI(p,q)$ $A$ $a^{T}y$ $I(pq),~0<q\leqslant p$ $p=q=1$ $CI(1,1)$

Testul Angle-Granger

Testul se bazează pe o ecuație de cointegrare estimată folosind metoda uzuală a celor mai mici pătrate . Ideea testului este că, dacă reziduurile acestui model sunt nestaționare (au o rădăcină unitară ), atunci nu există cointegrare în serie de timp. Ipoteza nulă este absența cointegrării, adică prezența unei rădăcini unitare în erorile modelului (ecuația de cointegrare). Pentru a testa ipoteza rădăcinii unității, se folosesc statisticile testului extins Dickey-Fuler , totuși, spre deosebire de cazul clasic al acestui test, în acest caz, valorile critice ale statisticilor sunt diferite, sunt mai mari în valoare absolută. . Valorile critice sunt obținute de McKinnon și Davidson prin simulare . Valorile statistice critice asimptotice de 1% (dimensiunea infinită a eșantionului) sunt date mai jos ca exemplu.

Tipul de model\Număr de variabile	2	3	patru	5	6
Model cu o constantă	-3,90	-4,29	-4,64	-4,96	-5,25
Model cu constanta si trend	-4,32	-4,66	-4,97	-5,25	-5,52

Abordarea lui Johansen

Pentru ecuațiile individuale, testarea integrării constă în verificarea egalității prezenței rădăcinilor unitare în autoregresia corespunzătoare. În cazul cointegrării, autoregresia vectorială poate juca un rol similar . În general, procedura de testare a cointegrării este următoarea. Se consideră modelul vectorial de autoregresie VAR(p) .

$y_{t}=\sum _{{i=1}}^{p}A_{i}y_{{ti}}+Bx_{t}+\varepsilon _{t}$

Acest model poate fi reprezentat ca un model de corectare a erorilor vectoriale (VEC, Vector Error Correction)

$\vartriangle y_{t}=\Pi y_{{t-1}}+\sum _{{j=1}}^{{p-1}}\Gamma _{j}\vartriangle y_{{tj}} +Bx_{t}+\varepsilon _{t}~,~\Pi =\sum _{{i=1}}^{p}A_{i}-I~,~\Gamma _{j}=-\ suma _{{i=j+1}}^{p}A_{i}$

Făcând abstracție de la variabilele exogene x , această reprezentare arată că dacă primele diferențe ale seriei sunt staționare prin presupunere, atunci - trebuie să fie și staționare. Conform teoremei reprezentării Granger, dacă rangul de cointegrare este mai mic decât numărul de variabile, matricea P poate fi reprezentată ca produs a două matrice , unde a doua matrice este matricea vectorilor de cointegrare. Rangul matricei determină rangul cointegrării. Johansen a arătat că problema găsirii parametrilor este echivalentă cu problema găsirii vectorilor proprii ai unei anumite matrice. Pentru a testa rangul de cointegrare, se utilizează testul raportului de probabilitate, a cărui statistică în acest caz este redusă la o funcție a valorilor proprii ale acestei matrice. Ipoteza nulă este să presupunem că rangul de cointegrare este egal cu valoarea dată a lui r. Ipoteza alternativă în abordarea lui Johansen este că rangul de cointegrare este mai mare decât cel dat. Statistica LR corespunzătoare este ( statistică de urmărire ) $YT}$ $\Pi y_{{t-1}}$ $\alpha \beta ^{T}$ $\Pi$ $\beta$

$LR_{r}^{{tr}}=n\sum _{{i=r+1}}^{p}\ln(1-\lambda _{i})$

unde -i-a cea mai mare valoare proprie a unei anumite matrice. $\lambda _{i}$

Procedura secvenţială a lui Johansen este de a începe testarea ipotezei de la rangul 0 până la rangul k-1. Dacă ipoteza nu este respinsă pentru rangul 0, atunci rangul este considerat zero (fără cointegrare). Și așa mai departe până la k-1. În acest din urmă caz, ipoteza alternativă este că seriile originale sunt staționare.

De asemenea, este posibil să se testeze ipoteza nulă față de alternativa că rangul este cu unul mai mult decât ipoteza nulă. În acest caz, se aplică statisticile valorii proprii maxime

$LR_{r}^{{max}}=n\ln(1-\lambda _{{r+1}})$

Distribuția statisticii LR depinde de prezența tendințelor deterministe în date și în ecuația de cointegrare. Prin urmare, ar trebui să testați mai multe opțiuni: nu există tendințe deterministe în date (nici o constantă și o tendință nu sunt incluse în CE, sau doar o constantă este inclusă), datele au o tendință deterministă liniară (în CE o constantă fără o tendință sau o constantă și o tendință), datele au o tendință pătratică (în CE sunt incluse o tendință constantă și una liniară).

Vezi și

Testul Granger pentru cauzalitate

Literatură

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Nosko V.P. Econometrie. Introducere în analiza de regresie a seriilor temporale . - M. , 2002. - 273 p.

Dicționare și enciclopedii	mare danez Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 125567779 GND : 4347470-6 J9U : 987007561289705171 LCCN : sh95008552