Cercul de convergență

Cercul de convergență [1] al unei serii de puteri este un cerc de formă $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$

D=\{z: |z-z_0| <R\}

. .

z\in\mathbb C

în care seria converge absolut , iar în afara ei, la , diverge . Cu alte cuvinte, cercul de convergență al unei serii de puteri este interiorul mulțimii de puncte de convergență a seriei. Cercul de convergență poate degenera într-o mulțime goală când , și poate coincide cu întregul plan al variabilei când . $|z-z_0|>R$ $R=0$ $z$ $R = \infty$

Raza de convergență

Raza cercului de convergență se numește raza de convergență [1] a seriei.

Raza de convergență a seriei Taylor a unei funcții analitice este egală cu distanța de la centrul seriei la mulțimea de puncte singulare ale funcției și poate fi calculată folosind formula Cauchy-Hadamard :

{1\peste R} = {\varlimsup\limits_{n\rightarrow \infty}} \, |a_n|^{1/n}

Această formulă este derivată din testul Cauchy .

Teorema Ostrovsky-Hadamard

Pentru seria de putere

f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k

pentru care aproape toți coeficienții sunt egali cu zero, în sensul că șirul coeficienților nenuli satisface $a_{k(i)}$

{\frac {k(i+1)}{k(i)}}>1+\delta

pentru unele fixe , un cerc cu un centru și o rază egală cu raza de convergență este o limită naturală - continuarea analitică a funcției definite de o astfel de serie este imposibilă în afara cercului. $\delta>0$ $z_{0}$

Literatură

↑ 1 2 Fihtengolts Grigori Mihailovici. Curs de calcul diferenţial şi integral - 2 volum . - 8. - Moscova: Fizmatlit, 2001-. - S. 557. - 864 p. — ISBN 5-9221-0157-9 .

Vezi și

Continuare analitică