Interior

Interiorul unei mulțimi este un concept în topologia generală , care denotă unirea tuturor submulților deschise ale unei mulțimi date. Punctele interioare se numesc puncte interioare .

Definiție

Fie dat un spațiu topologic unde este o mulțime arbitrară și este topologia definită pe ea . Să fie dat și o submulțime . $(X,{\mathcal {T}}),$ $X$ $\mathcal{T}$ $A\subset X$

Mai jos, este luată în considerare deschiderea submulților ca submulțimi ale tuturor (de exemplu, deschisă în mod necesar ca o submulțime a lui însuși, dar nu neapărat deschisă în întreg spațiul topologic), în timp ce nu este indicată în mod explicit, iar deschiderea este denotată ca apartenență la acesta. . $B\subset A$ $X$ $A$ $X$ $\mathcal{T}$

Atunci interiorul unui set poate fi definit în mai multe moduri echivalente: $A$

Interiorul este uniunea tuturor submulților deschise : $B\subset A$ $\operatorname {int} (A)=\bigcup \limits _{B\in {\mathcal {T}),\;B\subset A}B$ .
Interiorul este cel mai mare subset deschis prin includere : $A$ $(\operatorname {int} (A)\in {\mathcal {T)))\wedge (\operatorname {int} (A)\subset A)\quad \wedge \quad \forall B\;(( B\în {\mathcal {T)))\wedge (B\subset A)\Rightarrow (B\subset \operatorname {int} (A)))$ .

Interiorul este mulțimea tuturor punctelor interioare , unde un punct se numește interior dacă și numai dacă există o mulțime deschisă astfel încât : $x\în A$ $B\subset A$ $x\în B$ $\operatorname {int} (A)=\left\{x\in A:\exists B\subset A,x\in B,B\in {\mathcal {T)}\right\)$ .

Echivalența definițiilor rezultă din faptul că uniunea oricărei familii de mulțimi deschise este deschisă.

Proprietăți

Operația interioară este o operație unară asupra familiei tuturor submulților . $X$
Interiorul este un set deschis . $\operatorname {int} (A)$
Un set este deschis dacă și numai dacă coincide cu interiorul său: $A$ $(A\in {\mathcal {T)}\Săgeată la stânga \left(A=A^{0}\right)$ .
- Cu alte cuvinte, într- un set deschis toate punctele sunt interne și orice set ale cărui puncte sunt interne este deschis.
Funcționarea interioară este idempotentă : $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)$ .
Operația interioară păstrează ordinea parțială a submulților prin includere: $(A\subset B)\Rightarrow \left(\operatorname {int} (A)\subset \operatorname {int} (B)\right)$ .
Într -un spațiu metric , definiția unui punct interior ia următoarea formă. Fie un spațiu metric cu metric și submulțimea lui. Un punct este intern dacă și numai dacă există astfel încât . Cu alte cuvinte, intră împreună cu o minge de rază centrată pe . $X$ $d$ $M$ $x\în M$ $M$ $\varepsilon >0$ $\forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M$ $X$ $M$ $\varepsilon$ $X$

Exemple

$\operatorname {int} (\emptyset )=\emptyset .$
Dacă este o submulțime finită a spațiului euclidian cu topologia standard , atunci . $A\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\operatorname {int} (A)=\emptyset$
Dacă este o linie reală cu topologia standard și , atunci $X={\mathbb {R}}$ $[a,b]\subset {\mathbb {R}}$ $\operatorname {int} ([a,b])=(a,b).$
Dacă este un spațiu discret , atunci pentru orice avem . $X$ $A\subset X$ $\operatorname {int} (A)=A$