Interval (teoria relativității)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 octombrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Un interval în teoria relativității este un analog al distanței dintre două evenimente în spațiu-timp , care este o generalizare a distanței euclidiene dintre două puncte. Intervalul este Lorentz-invariant , adică nu se schimbă la trecerea de la un cadru inerțial de referință la altul și, chiar mai mult, este un invariant ( scalar ) în relativitatea specială și generală.

Această proprietate a intervalului îl face un concept fundamental pe baza căruia, în conformitate cu principiul relativității , se poate realiza o formulare covariantă a legilor fizice. În special, transformările Lorentz (transformări ale coordonatelor, inclusiv timpul, lăsând neschimbată înregistrarea tuturor ecuațiilor fundamentale ale fizicii atunci când se modifică cadrul de referință) pot fi găsite în mod formal ca un grup de transformări care păstrează intervalul invariant.

Invarianța intervalului a servit drept bază pentru introducerea spațiului Minkowski , în care schimbarea cadrelor de referință inerțiale corespund „rotațiilor” acestui spațiu, care a fost prima formulare explicită a conceptului de spațiu-timp .

Definiție

Un pătrat de interval este o formă biliniară simetrică pe o varietate configurațională de spațiu-timp cu 4 dimensiuni. Cu coordonate alese corect (Galilean - cadru de referință inerțial local cu coordonate spațiale carteziene și timp ) pentru o deplasare infinit de mică în spațiu-timp, are forma $x,y,z$ $t$

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2))

(local un spațiu-timp pseudo-euclidian , un spațiu Menkowski în ordinea principală, cu alte cuvinte, o varietate cu o metrică pseudo-riemanniană nedefinită de semnătură (+−−−)).

În cazul unui spațiu-timp plat - adică un spațiu-timp fără curbură , care în fizica modernă se referă la cazul absenței (sau micșorării neglijabile) a gravitației - aceeași expresie este valabilă pentru diferențele finite de coordonate:

s^{2}=c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^ {2}

(un astfel de spațiu este deja exact și global un spațiu Minkowski, dacă, desigur, este echivalent topologic în topologia sa naturală). $\mathbb {R} ^{4)$

De obicei, intervalul este indicat printr-o literă latină . $s$

Teoria generală a relativității folosește conceptul generalizat de interval, care oferă o generalizare naturală a distanței dintre două puncte. Se introduce un tensor metric , din care sunt necesare doar simetria și non- degenerarea . Expresia pentru pătratul intervalului dintre două puncte infinit apropiate ia forma $g_{ik)$

ds^{2}=g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j},\quad i,j=0\dots 3,\quad x^{0}=ct,\ x^{1}=x,\ x^{2}=y,\ x^{3}=z,

unde sunt diferențiale de coordonate, iar însumarea este implicită peste indici repeți , adică această expresie înseamnă $dx^{i}$

\sum _{i,j=0}^{3}g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.

Rețineți că metrica astfel definită nu va fi o formă pătratică definită pozitiv, așa cum este de obicei necesar în cazul varietăților Riemanniene adecvate. Dimpotrivă, se înțelege că întotdeauna sau aproape întotdeauna local coordonatele spațiu-timp (cadru de referință) pot fi alese în așa fel încât intervalul pentru o mică regiune de spațiu-timp în aceste coordonate să fie scris în același mod ca este scris pentru coordonatele lorentziane (cadre de referință) într-un spațiu plat Minkowski: $t,x,y,z$

ds^{2}=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},

astfel încât printr-un punct al spațiu-timp există infinit de linii care au „lungime” nulă (când se definește lungimea în spațiu-timp prin „metrica sa fizică” – adică ca integrală a lui ) – formând un con de lumină ; există infinit de linii a căror lungime este reală - toate se află în regiunea interioară a conului de lumină; și există infinit de mulți dintre cei a căror lungime este pur imaginară - în apropierea unui punct dat, toți se află în regiunea exterioară a conului de lumină cu un vârf la el dacă sunt netede. ${\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}\,dt^{2))))$

Semnul pătrat interval este o chestiune de convenție. Se poate alege (și istoric a fost) invers. În zilele noastre, probabil, alegerea semnului ca mai sus în acest articol este mai des folosită. Cu toate acestea, uneori, opusul este mai convenabil dacă se folosește interpretarea lui Minkowski și adesea convenabilă a coordonatei timpului ca pur imaginar.
Numerotarea coordonatelor este, de asemenea, un subiect de acord, dar în literatura modernă ele sunt cel mai adesea numerotate ca aici - de la 0 la 3, iar indicele 0 este atribuit coordonatei de timp. $x^i$
În construcțiile teoretice care utilizează spațiu-timp de o dimensiune superioară, definiția unui interval este generalizată în mod natural prin adăugarea unui anumit număr de coordonate spațiale la sumă. În acest caz, cel mai adesea (deși nu întotdeauna) se presupune că coordonata timpului rămâne unică, adică de obicei intră un singur termen cu un semn opus tuturor celorlalți.
O varietate cu un interval nedegenerat (sau, cu alte cuvinte, o metrică nedegenerată) dată pe ea se numește pseudo-riemannian , mai precis, pseudo-riemannian, pentru a sublinia diferența față de varietatea riemanniană , în care metrica - spre deosebire de interval - este definit pozitiv, ca distanța euclidiană obișnuită.
Definițiile intervalelor sunt oarecum diferite în relativitatea specială și generală. Acest lucru se datorează faptului că intervalul dintre două puncte arbitrare ale spațiului-timp Minkowski poate fi introdus, fără a întâmpina dificultăți, ca lungimea unei linii drepte (geodezice) care le leagă, așa cum sa făcut mai sus. Cu toate acestea, pentru forma generală a spațiu-timp curbat, acest lucru nu se mai poate face atât de simplu, deoarece punctele pot fi conectate prin mai multe geodezice diferite (sau chiar un număr infinit de ele). Prin urmare, intervalul din teoria generală a relativității este determinat de obicei într-o vecinătate infinit de mică a unui punct dat, unde diferitele geodezice care emană din acesta nu se intersectează încă, iar distanța de-a lungul liniilor geodezice de la un punct la altul se numește lume . functie .

Invarianța intervalului în relativitatea specială

Postulatele folosite

Direct din principiul relativității , omogenitatea și izotropia spațiului, precum și omogenitatea timpului, rezultă că la trecerea de la un IFR (cadru de referință inerțial) la un altul IFR, intervalul rămâne neschimbat. Această proprietate a acesteia face posibilă derivarea formală a transformărilor Lorentz și fundamentează justificarea introducerii spațiului Minkowski și a metricii non-riemanniane.

Invarianța vitezei luminii contează aici deoarece se știe că viteza luminii este întotdeauna aceeași în cel puțin un cadru de referință, iar din aceasta și din principiul relativității rezultă că trebuie să fie aceeași în orice IFR. . Totuși, în locul vitezei luminii, s-ar putea lua viteza maximă a mișcării corpurilor sau a propagării interacțiunilor, care de asemenea, din principiul relativității, ar trebui să fie aceeași în toate cadrele de referință inerțiale. Dacă viteza maximă de propagare a interacțiunilor este finită, aceasta, datorită principiului relativității, trebuie să coincidă cu viteza luminii, pe care o vom nota aici, ca de obicei, . $c$

Pentru demonstrația dată mai jos, este esențial să considerăm toate modificările de coordonate spațiale și de timp ca fiind mici (infinit de mici), adică totul va fi formulat pentru intervalul dintre două evenimente care sunt infinit apropiate în spațiu și timp.

Dovada

Probabil, având în vedere unele dintre capcanele notate în note, în dovezile din manualul lui Landau de mai jos, este mai ușor să obțineți mai întâi în mod explicit transformările Lorentz , din care pur și simplu urmează invarianța intervalului.

Să arătăm mai întâi că, dacă intervalul dintre două evenimente este egal cu zero într-un IFR, atunci este egal cu zero în orice IFR. Într-adevăr, să fie în IFR K evenimentul 1 să aibă loc la un moment dat , iar evenimentul 2 la un moment dat . După condiție, intervalul dintre ele este egal cu 0, adică ${\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1))$ $t_{1}$ ${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2))$ $t_{2}$

c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2} )^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}=0.

Aceasta înseamnă că dacă un semnal care se mișcă cu viteza luminii este emis de la punctul 1 la punctul 2, atunci acesta va fi în punctul 2 după timp . Dar, din cauza invarianței vitezei luminii, pentru evenimentele 1 și 2, considerate în cadrul de referință K' , putem scrie similar $t_{2}-t_{1}$

c^{2}(t_{1}^{'}-t_{2}^{'})^{2}-(x_{1}^{'}-x_{2}^{'} )^{2}-(y_{1}^{'}-y_{2}^{'})^{2}-(z_{1}^{'}-z_{2}^{'})^ {2}=0.

Acest lucru demonstrează că egalitatea intervalului la zero nu depinde de ISO.

Pentru scopuri suplimentare, amintiți-vă că luăm în considerare intervalul dintre evenimente infinit apropiate , prin urmare, trebuie să fie o valoare infinitezimală. Datorită omogenității și izotropiei spațiului și a omogenității timpului la schimbarea IFR, noul interval poate fi doar o funcție a vechiului interval și a vitezei noului IFR în vechiul IFR, nu poate depinde de coordonatele unui punct sau timp. La modificarea IFR, nu poate fi adăugat la interval un termen care nu depinde de interval din vechiul IFR, deoarece dacă într-un IFR intervalul este 0, atunci în celălalt IFR este tot 0. Prin urmare, ambele intervale vor fi infinit de mic. Întrucât intervalele sunt infinit de mici, ele trebuie să fie proporționale [1] , ca infinitezimale de același ordin, dat fiind că unul dintre ele dispare dacă și numai dacă al doilea, așa cum am aflat deja la început. Aceasta înseamnă că la schimbarea ISO, intervalul este transformat conform regulii

ds_{2}^{2}=k({\vec {V)))\,ds_{1}^{2}.

Datorită izotropiei spațiului, k nu poate depinde de direcția vitezei, ci doar de modulul acesteia.

Aceasta înseamnă [2] că, având în vedere modificarea intervalului în timpul tranziției de la sistemul 1 la sistemul 2, și apoi înapoi, având în vedere că V este același pentru transformările directe și inverse din izotropia spațiului și principiul relativității ( al doilea sistem nu se distinge de primul, cum arată primul sistem de al doilea), avem

ds_{2}^{2}=K(V)\,ds_{1}^{2},

ds_{1}^{2}=K(V)\,ds_{2}^{2},

și prin urmare (pentru că ) ${\displaystyle ds_{1}=ds_{1))$

K^{2}(V)=1

pentru orice V .

Rămâne de eliminat cazul K = −1. Acest lucru se poate face luând în considerare trei ISO-uri și schimbând intervalul dintre ele. Făcând o tranziție secvențială de la primul CO la al treilea, prin al doilea, avem

ds_{3}^{2}=K^{2}\,ds_{1}^{2},

și pentru o tranziție directă imediată de la prima la a treia:

ds_{3}^{2}=K\,ds_{1}^{2}.

Aceasta arată că , și, prin urmare, rămâne doar varianta $K^{2}=K$

k(V)=1

pentru orice V , adică intervalul nu se modifică la schimbarea ISO.

În concluzie, se poate observa că invarianța intervalelor infinitezimale implică invarianța celor finite, întrucât acestea din urmă sunt obținute prin simpla integrare a infinitezimale.

Semnificația semnului pătrat interval

Dacă , atunci intervalul se numește timelike . Intervalul de timp dintre evenimente înseamnă că există un astfel de cadru de referință în care ambele evenimente au avut loc în același loc. Mai important, intervalul de timp dintre evenimente înseamnă că acestea pot fi legate cauzal . Este ușor de verificat acest lucru pentru evenimente legate de cauzalitate , deoarece orice interacțiune se propagă cu o viteză nu mai mare de c și corespunde evenimentelor asociate cu un semnal care se propagă la viteza luminii. Acest semnal nu trebuie să fie tocmai lumină, poate fi o undă gravitațională , în general, orice particulă fără masă , sau chiar o interacțiune care nu a fost încă descoperită. Este esențial doar să existe o viteză maximă de propagare a interacțiunii, care este aceeași pentru toate cadrele de referință și egală, după cum rezultă din ecuațiile lui Maxwell , cu viteza luminii. $ds^{2}\geqslant 0$ $ds^{2}\geqslant 0$ $ds=0$
Dacă , atunci intervalul se numește asemănător spațiului , ceea ce înseamnă că puteți alege un astfel de cadru de referință inerțial în care ambele evenimente au avut loc în același timp. Evenimentele, intervalul dintre care este asemănător spațiului, așa cum s-a indicat mai sus, nu pot fi conectate cauzal, deoarece chiar și un semnal care se propagă în linie dreaptă ar trebui să se miște mai repede decât viteza luminii pentru aceasta. $ds^{2}\leqslant 0$
Dacă , atunci intervalul se numește asemănător luminii (uneori izotrop sau zero). Direcțiile din spațiul Minkowski de-a lungul cărora intervalul este 0 se spune că sunt izotrope . Varietățile sunt numite și izotrope dacă forma este identic egală cu 0. Lumina se propagă întotdeauna de-a lungul direcțiilor izotrope. $ds^{2}=0$ $ds^2$

Observație . Deoarece intervalul în sine este invariant, este evident că semnul pătratului său se dovedește a fi invariant. Prin urmare, clasificarea intervalelor pe această bază, dată aici, nu depinde de sistemul de referință.

Vezi și

Note

↑ Acest pasaj din demonstrația dată în manualul lui Landau și Lifshitz este mai degrabă netrivial, în ciuda aparentei sale simplități. Poate că Landau, cu dragostea lui pentru glume, a decis aici să verifice cât de bine înțeleg cititorii prezentarea, care este aparent simplă, dar conține capcane imperceptibile. Deși, desigur, într-un anumit sens, afirmația luată în considerare trebuie să fie adevărată, bazată cel puțin pe rezultatul corect al dovezii. Cu toate acestea, o discuție detaliată a motivului pentru care coeficientul se dovedește a fi doar un număr care nu depinde, de exemplu, de unghiul dintre vectorul viteză și vectorul care leagă punctele evenimentelor, intervalul între care este luat în considerare, este omisă în această dovadă: se propune să o restituie cititorului.
↑ Din acest punct, demonstrația este oarecum simplificată în comparație cu demonstrația lui Landau, dar dacă luăm ca dovedit ceea ce a fost deja dovedit până în prezent, conform expunerii lui Landau, sunt suficiente următoarele.

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .