Transformări Lorentz

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 28 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Transformările Lorentz sunt transformări liniare (sau afine) ale unui spațiu pseudo-euclidian vectorial (respectiv, afin) care păstrează lungimile sau, echivalent, produsul scalar al vectorilor.

Transformările Lorentz ale spațiului de semnătură pseudo-euclidian sunt utilizate pe scară largă în fizică, în special, în teoria relativității speciale (SRT) , unde continuumul spațiu-timp cu patru dimensiuni ( spațiul Minkowski ) acționează ca un spațiu pseudo-euclidian afín . $(n-1,\;1)$

Transformări Lorentz în matematică

Transformarea Lorentz este o generalizare naturală a conceptului de transformare ortogonală (adică o transformare care păstrează produsul scalar al vectorilor) de la spații euclidiene la spații pseudo- euclidiene . Diferența dintre ele este că produsul scalar se presupune că nu este definit pozitiv, ci alternant de semne și nedegenerat (așa-numitul produs scalar nedefinit ).

Definiție

Transformarea Lorentz ( transformarea Lorentz ) a unui spațiu vectorial pseudo-euclidian este o transformare liniară care păstrează produsul scalar nedefinit al vectorilor. Aceasta înseamnă că pentru oricare doi vectori egalitatea $L$ $A\colon L\la L$ $x,\;y\în L$

\langle A(x),\;A(y)\rangle =\langle x,\;y\rangle ,

unde parantezele triunghiulare denotă produsul scalar nedefinit în spațiu pseudo-euclidian . $\langle x,\;y\rangle$ $L$

În mod similar, transformarea Lorentz ( transformarea Lorentz ) a unui spațiu afin pseudo-euclidian este o transformare afină care păstrează distanța dintre punctele din acel spațiu (această distanță este definită ca lungimea vectorului care leagă punctele date folosind un produs punctual nedefinit) .

Proprietăți generale

Deoarece orice transformare afină este o compoziție a unei translații paralele (care păstrează, evident, distanța dintre puncte) și a unei transformări care are un punct fix, grupul de transformare Lorentz al unui spațiu afin ( grupul Poincaré ) se obține din grupul de transformare Lorentz al unui spațiu vectorial ( grupul Lorentz ) de aceeași dimensiune prin adăugarea tuturor transferurilor paralele posibile la acesta.
Dacă se alege o bază într-un spațiu vectorial pseudo-euclidian , atunci matricea Gram este definită pentru produsul scalar nedefinit . Atunci matricea de transformare Lorentz satisface relația $L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ $\langle x,\;y\rangle$ $G$ $A$

A^{T}\,G\,A=G,\qquad (*)

În schimb, orice matrice care satisface relația este o matrice de transformare Lorentz. Este întotdeauna posibil să alegeți o bază în așa fel încât produsul scalar nedefinit să aibă forma $A$ $(*)$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{k}y_{k}-x_{{k+1}}y_{{k+1}}-\ldots -x_{n}y_{n},

iar în egalitate matricea este diagonală cu elementele (primul ) și (ultimul ). $(*)$ $G$ $unu$ $k$ $-unu$ $nk$

Din relația rezultă că, ca și în cazul unei transformări ortogonale, determinantul sau . $(*)$ $|A|=+1$ $|A|=-1$
Dacă un subspațiu este invariant sub transformarea Lorentz , atunci complementul său ortogonal (în sensul produsului scalar nedefinit dat) este, de asemenea, invariant sub transformarea , și . Totuși, spre deosebire de transformările ortogonale ale spațiilor euclidiene, egalitatea , unde simbolul înseamnă suma directă a subspațiilor, în general, nu este valabilă (ambele subspații și pot conține aceiași vectori izotropi nenuli , adică , deoarece orice vector izotrop este ortogonal cu sine ) [1] . $L_{1}\subset L$ $A\colon L\la L$ $L_{1}^{\perp }$ $A$ $\dim L_{1}+\dim L_{1}^{\perp }=\dim L$ $L_{1}\oplus L_{1}^{\perp }=L$ $\oplus$ $L_{1}$ $L_{1}^{\perp }$ $L_{1}\cap L_{1}^{\perp }\neq 0$

Proprietăți în spațiile de semnătură (n-1, 1)

Din egalitate rezultă că transformarea Lorentz traduce conul de lumină în sine și, de asemenea, traduce aspectul său în sine (în SRT - regiunea absolut îndepărtată ). Cu toate acestea, în acest caz, cele două componente ale conului de lumină, separate prin vârful său (în SRT, ele limitează conul viitorului și conul trecutului ), pot fie să treacă în sine, fie să-și schimbe locul unul cu celălalt. $\langle A(x),\;A(x)\rangle =\langle x,\;x\rangle$
În funcție de faptul dacă o anumită transformare Lorentz rearanjează părți ale conului de lumină sau le lasă pe loc, precum și semnul determinantului , grupul Lorentz poate fi împărțit în 4 părți, care sunt componentele sale legate de cale (dar doar una dintre ele este un subgrup). Acest fapt (prezența a patru componente conectate) este adesea interpretat ca prezența a patru orientări ale spațiului pseudo-euclidian (în contrast cu spațiul euclidian, unde există doar două orientări) [1] . $A$ $|A|=\pm 1$

Forma explicită a transformărilor planului pseudo-euclidian

Transformările Lorentz ale planului pseudo-euclidian pot fi scrise în cea mai simplă formă, folosind o bază formată din doi vectori izotropi : $de exemplu$

\langle e,\;e\rangle =0,\quad \langle g,\;g\rangle =0,\quad \langle e,\;g\rangle =1/2.

Și anume, în funcție de semnul determinantului , matricea de transformare în această bază are forma: $|A|=\pm 1$

A={\begin{pmatrix}a&\ \ \,0\\0&\,1/a\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=+1,\qquad A={\begin{pmatrix}0& \ a\\1/a&\,0\end{pmatrix}}\ \Leftrightarrow \ |A|=-1,\qquad a\neq 0.

Semnul numărului determină dacă transformarea lasă părți ale conului de lumină pe loc sau le schimbă . $A$ $A$ $(a>0)$ $(a<0)$

O altă formă frecvent întâlnită a matricelor de transformare Lorentz a planului pseudo-euclidian este obținută prin alegerea unei baze constând din vectori și : $e'=e+g$ $g'=eg$

\langle e',\;e'\rangle =+1,\quad \langle g',\;g'\rangle =-1,\quad \langgle e',\;g'\rangle =0.

În baza , matricea de transformare are una din cele patru forme: $e',\;g'$ $A$

{\begin{pmatrix}\ \operatorname {ch}\varphi &\ \ \operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}} ,\quad {\begin{pmatrix}\ -\operatorname {ch}\varphi &\,\ -\operatorname {sh}\varphi \\\,-\operatorname {sh}\varphi &\,-\operatorname {ch }\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}-\operatorname {ch}\varphi &\,-\operatorname {sh}\varphi \\\,\operatorname {sh}\varphi &\ \operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}\ \operatorname {ch}\varphi &\ \,\operatorname {sh}\varphi \\\,-\operatorname {sh }\varphi &\,-\operatorname {ch}\varphi \end{pmatrix}},\qquad (0)

unde și sunt sinusul hiperbolic și cosinusul și este viteza . $\operatorname {sh}$ $\operatorname {ch}$ $\varphi$

Forma explicită a transformărilor spațiului de semnătură (n-1, 1)

Transformări Lorentz ale spațiului pseudo-euclidian -dimensional cu produs scalar $n$ $L$

\langle x,\;y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{{n-1}}y_{{n-1}}-x_{n}y_{n}\quad ( unu)

sunt descrise de următoarea teoremă.

Teorema 1. Pentru orice transformare Lorentz , există subspații invariante și astfel încât restricția produsului scalar (1) la fiecare dintre ele să fie nedegenerată și să existe o descompunere ortogonală $A\colon L\la L$ $L_{0}\subset L$ $L_{1}\subset L$

L=L_{0}\oplus L_{1},\quad L_{0}\perp L_{1},

unde subspațiul cu produsul scalar (1) este euclidian și . [unu] $L_0$ $\dim L_{1}\leqslant 3$

Teorema 1 afirmă că orice transformare lorentziană a unui spațiu de semnătură pseudo-euclidian este dată de o transformare lorentziană a unui spațiu pseudo-euclidian de dimensiunea 1 sau 2 sau 3 și o transformare ortogonală a unui spațiu euclidian extradimensional. $L$ $(n-1,\;1)$ $L_{1}\subset L$ $L_{0}\subset L$

Lema. Dacă , atunci subspațiul pseudo-euclidian invariant , la rândul său, poate fi reprezentat ca o sumă directă $\dim L_{1}=3$ $L_{1}$

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}\oplus M_{3}

L_{1}=M_{1}\oplus M_{2}

subspații , care sunt ortogonale în perechi și invariante sub transformare , cu excepția unui singur caz când transformarea are o valoare proprie unică de multiplicitate 3 și singurul vector propriu este izotrop: . În acest caz unic, subspațiul invariant nu se descompune într-o sumă directă a oricăror subspații care sunt invariante sub transformarea , ci este un subspațiu rădăcină tridimensional al acestei transformări [1] . $M_{i}\subset L_{1}$ $A$ $A\coloană L_{1}\la L_{1}$ $\lambda=\pm1$ $e\în L_{1}$ $\langle e,\;e\rangle =0$ $L_{1}$ $A\coloană L_{1}\la L_{1}$

Teorema 1 împreună cu lema ne permit să stabilim următorul rezultat:

Teorema 2. Pentru orice transformare Lorentz , există o astfel de bază ortonormală (în raport cu produsul scalar nedefinit (1)) : $A\colon L\la L$ $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$

\langle e_{1},\;e_{1}\rangle =\ldots =\langle e_{{n-1}},\;e_{{n-1}}\rangle =+1,\quad \langle e_{n},\;e_{n}\rangle =-1,\quad \langle e_{i},\;e_{j}\rangle =0\;(\forall i\neq j),

în care matricea are o formă bloc-diagonală cu blocuri de următoarele tipuri: $A$

comanda 1 cu elementul , $\pm 1$
ordinul 2 este matricea de rotație a planului euclidian prin unghiul , $\varphi$
ordinul 2 este matricea de transformare Lorentz a planului pseudo-euclidian de forma , $(0)$
de ordinul 3 este matricea de transformare Lorentz a unui spațiu pseudo-euclidian tridimensional cu o valoare proprie triplă și un singur vector propriu izotrop. $\lambda=\pm1$

În acest caz, matricea nu poate conține mai mult de un bloc aparținând ultimelor două tipuri [1] . $A$

În plus, este valabilă următoarea reprezentare a transformărilor Lorentz ale spațiului pseudo-euclidian -dimensional cu produsul interior . $n$ $L$ $(unu)$

Teorema 3. Orice transformare Lorentz a unui spațiu cu un produs interior poate fi reprezentată ca o compoziție a următoarelor transformări liniare: $A\colon L\la L$ $L$ $(unu)$

transformarea ortogonală a subspațiului euclidian dat de ecuația , cu coordonatele , $x_{n}=0$ $(x_{1},\;\ldots ,\;x_{{n-1}})$
Transformarea Lorentz a planului pseudo-euclidian cu coordonate cu unele , $(x_{i},\;x_{n})$ $i<n$
reflexii de forma , [2] . $x_{i}\mapsto \pm x_{i}$ $i\în \{1,\;\ldots ,\;n\}$

Transformările Lorentz în fizică

Transformările Lorentz în fizică, în special, în teoria relativității speciale (SRT) , sunt transformările pe care le suferă coordonatele spațiu-timp ale fiecărui eveniment atunci când se deplasează de la un cadru inerțial de referință (ISR) la altul. În mod similar, coordonatele oricărui 4-vector sunt supuse transformărilor Lorentz într-o astfel de tranziție . $(x,\;y,\;z,\;t)$

Pentru a distinge clar transformările Lorentz cu deplasări ale originii și fără deplasări, atunci când este necesar, se vorbește de transformări Lorentz neomogene și omogene .

Transformările Lorentz ale unui spațiu vectorial (adică fără deplasări ale originii) formează grupul Lorentz , iar transformările Lorentz ale unui spațiu afin (adică cu deplasări ) formează grupul Poincaré , altfel numit grupul Lorentz neomogen .

Din punct de vedere matematic, transformările Lorentz sunt transformări care păstrează metrica Minkowski neschimbată , adică, în special, aceasta din urmă își păstrează forma cea mai simplă atunci când trece de la un cadru inerțial de referință la altul (cu alte cuvinte, transformările Lorentz sunt un analog pentru metrica Minkowski a transformărilor ortogonale, care realizează tranziția de la o bază ortonormală la alta, adică un analog al rotației axelor de coordonate pentru spațiu-timp). În matematică sau fizică teoretică, transformările Lorentz se pot aplica oricărei dimensiuni spațiale.

Este vorba de transformările Lorentz, care, spre deosebire de transformările galileene , amestecă coordonatele spațiale și timpul, au devenit din punct de vedere istoric baza pentru formarea conceptului de spațiu-timp unic .

Trebuie remarcat că nu numai ecuațiile fundamentale sunt covariante Lorentz (cum ar fi ecuațiile Maxwell care descriu câmpul electromagnetic, ecuația Dirac care descrie electronul și alți fermioni), ci și ecuații macroscopice precum ecuația de undă care descrie (aproximativ) sunetul, vibrații și membrane ale corzilor și altele (numai atunci, în formulele pentru transformările Lorentz, ar trebui să se înțeleagă nu viteza luminii, ci o altă constantă - de exemplu, viteza sunetului). Prin urmare, transformările Lorentz pot fi folosite fructuos și în legătură cu astfel de ecuații (deși într-un sens destul de formal, care, totuși, diferă puțin - în cadrul propriu - de aplicarea lor în fizica fundamentală). $c$

Tip de transformări pentru axe spațiale coliniare (paralele)

Dacă IFR se mișcă în raport cu IFR cu o viteză constantă de -a lungul axei și originile coordonatelor spațiale coincid la momentul inițial în ambele sisteme, atunci transformările Lorentz (linii drepte) au forma: $K'$ $K$ $v$ $X$

x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2)),

y'=y,\

z'=z,\

t'={\frac {t-(v/c^{2})x}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))},

unde este viteza luminii , valorile cu numere prime sunt măsurate în sistem , fără numere prime - în . $c$ $K'$ $K$

Această formă de transformare (adică la alegerea axelor coliniare), numită uneori boost ( English boost ) sau Lorentz boost (mai ales în literatura de limbă engleză), în ciuda simplității sale, include, de fapt, tot conținutul fizic specific al Lorentzului. transformări, deoarece axele spațiale pot fi întotdeauna alese în acest fel, iar adăugarea de rotații spațiale, dacă se dorește, nu este dificilă (vezi acest lucru extins în mod explicit mai jos), deși face formulele mai greoaie.

Formulele care exprimă transformarea inversă, adică exprimând prin , pot fi obținute pur și simplu prin înlocuirea cu (valoarea absolută a vitezei relative de mișcare a cadrelor de referință este aceeași la măsurarea acesteia în ambele cadre de referință, prin urmare, dacă se dorește, poate fi prevăzut cu un accident vascular cerebral, numai în același timp este necesar să se monitorizeze cu atenție dacă semnul și definiția corespund reciproc) și înlocuirea reciprocă a „ hașurat” și „nehașurat”. Sau rezolvarea sistemului de ecuații (1) în raport cu . $x',\;y',\;z',\;t'$ $x,\;y,\;z,\;t$ $v$ $-v$ $|v|$ $v$ $X$ $t$ $x',\;y',\;z',\;t'$
Trebuie avut în vedere că în literatură transformările Lorentz sunt adesea scrise pentru simplitate în sistemul de unități, unde . $c=1$
Se poate observa că în cadrul transformărilor Lorentz, evenimentele care sunt simultane într-un cadru de referință nu sunt simultane în altul (relativitatea simultaneității). În plus, un corp în mișcare are o dimensiune longitudinală redusă în comparație cu ceea ce are în cadrul său de referință însoțitor ( contracție Lorentz ), iar un ceas în mișcare încetinește dacă este observat dintr-un cadru de referință „staționar” ( dilatare relativistă a timpului ).

Ieșirea transformărilor

Transformările Lorentz pot fi obținute în mod abstract, din considerente de grup (în acest caz se obțin cu indefinit ), ca o generalizare a transformărilor galileene (care a fost făcută de Henri Poincaré - vezi mai jos ). Cu toate acestea, pentru prima dată au fost obținute ca transformări față de care ecuațiile lui Maxwell sunt covariante (adică, de fapt, ele nu schimbă forma legilor electrodinamicii și opticii la trecerea la un alt cadru de referință). Ele pot fi, de asemenea, obținute din ipoteza liniarității transformărilor și postulatul aceleiași viteze a luminii în toate cadrele de referință (care este o formulare simplificată a cerinței pentru covarianța electrodinamicii în raport cu transformările dorite și extensia a principiului egalității cadrelor de referință inerțiale - principiul relativității - la electrodinamică ), așa cum se face în teoria relativității speciale (SRT) (în același timp, în transformările Lorentz, se dovedește a fi definită și coincide cu viteza luminii ). $c$ $c$

Trebuie remarcat faptul că, dacă clasa transformărilor de coordonate nu se limitează la cele liniare, atunci prima lege a lui Newton este valabilă nu numai pentru transformările Lorentz, ci și pentru o clasă mai largă de transformări fracțional-liniare [3] (totuși, această clasă mai largă de transformări este, desigur, cu excepția cazului special al transformărilor Lorentz - nu păstrează metrica constantă).

Diferite forme de notare a transformărilor

Tip de transformări pentru orientarea arbitrară a axelor

Datorită arbitrarului introducerii axelor de coordonate, multe probleme pot fi reduse la cazul de mai sus. Dacă problema necesită o aranjare diferită a axelor, atunci puteți utiliza formulele de transformare într-un caz mai general. Pentru aceasta, vectorul raza punctului

{\mathbf {r}}'={\mathbf {i}}x'+{\mathbf {j}}y'+{\mathbf {k}}z',

unde sunt ortele , este necesar să o împărțim într-o componentă paralelă cu viteza și o componentă perpendiculară pe aceasta: ${\mathbf {i)],\;{\mathbf {j)],\;{\mathbf {k))$ ${\mathbf {r))'_{\|}$ ${\mathbf {r))'_{\perp }$

{\mathbf {r}}'={\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {r}}'_{\perp }.

Apoi transformările vor lua forma

{\mathbf {r}}_{\|}={\frac {{\mathbf {r}}'_{\|}+{\mathbf {v}}t'}{{\sqrt {1-v^ {2}/c^{2}}}}),\quad {\mathbf {r}}_{\perp }={\mathbf {r}}'_{\perp },\quad t={\frac {t'+(v/c^{2})r_{\|}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}},

unde este valoarea absolută a vitezei, este valoarea absolută a componentei longitudinale a vectorului rază. $v=\left|{\mathbf {v}}\right|$ $r_{\|}=\left|{\mathbf {r}}_{\|}\right|$

Aceste formule pentru cazul axelor paralele, dar cu o viteză direcționată în mod arbitrar, pot fi convertite în forma obținută mai întâi de Herglotz :

\mathbf {r} ={\frac {\mathbf {r} '+\mathbf {v} t'}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)}))+{ \frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)(\mathbf {r} '\times \mathbf {v} )\times \mathbf {v} ;

t={\frac {t'+\mathbf {r'v} /c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},

unde este produsul încrucișat al vectorilor tridimensionali. Vă rugăm să rețineți că cel mai general caz, când originile nu coincid în momentul zero al timpului, nu este prezentat aici pentru a economisi spațiu. Poate fi obținut prin adăugarea translației (deplasarea originii) la transformările Lorentz. $\times$

Transformări Lorentz în formă de matrice

Pentru cazul axelor coliniare, transformările Lorentz sunt scrise ca

{\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {v}{c)} \gamma &0&0\\-{\dfrac {v}{c}}\gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\\y\ \z\end{bmatrix}},

unde este factorul Lorentz $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}.$

Cu orientarea arbitrară a axelor, sub formă de 4 vectori, această transformare se scrie astfel:

{\begin{bmatrix}ct'\\{\vec {r}}\,'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-{\dfrac {\vec {v}} {c}}\gamma \\-{\dfrac {\vec {v}}{c}}\gamma &I+{\dfrac ({\vec {v}}\otimes {\vec {v}}}{v^ {2}}}(\gamma -1)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\{\vec {r}}\end{bmatrix}},

unde - matricea identității - multiplicarea tensorală a vectorilor tridimensionali. $eu$ $3\ori 3,$ $uneori$

Sau, ce este la fel,

{\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta n_{x }&-\gamma \beta n_{y}&-\gamma \beta n_{z}\\-\gamma \beta n_{x}&1+(\gamma -1)n_{x}^{2}&(\ gamma -1)n_{x}n_{y}&(\gamma -1)n_{x}n_{z}\\-\gamma \beta n_{y}&(\gamma -1)n_{y}n_ {x}&1+(\gamma -1)n_{y}^{2}&(\gamma -1)n_{y}n_{z}\\-\gamma \beta n_{z}&(\gamma -1 )n_{z}n_{x}&(\gamma -1)n_{z}n_{y}&1+(\gamma -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin {bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}

Unde ${\vec {\beta }}={\frac {\vec {v}}{c}};\beta =|{\vec {\beta }}|;n_{x}={\frac { \beta _{x)){\beta ));n_{y}={\frac {\beta _{y)){\beta ));n_{z}={\frac {\beta _{z} }{\beta }}$

Metoda de concluzie numărul 1

Matricea de transformare se obține din formulă $B$

B(\mathbf {v} )=I-\gamma \beta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\gamma -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf { K} )^{2}

sau cand este parametrizata de viteza $\zeta$

B({\boldsymbol {\zeta}})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K})+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}

unde n K = n x K x + n y K y + n z K z , unde

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\ \0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0}}{bmatrix),

care este similar cu formula Rodrigues

Metoda de concluzie numărul 2

O transformare Lorentz omogenă arbitrară poate fi reprezentată ca o anumită compoziție de rotații spațiale și transformări Lorentz elementare care afectează doar timpul și una dintre coordonate. Aceasta rezultă din teorema algebrică privind descompunerea unei rotații arbitrare în altele simple. Mai mult, este evident din punct de vedere fizic că pentru a obține o transformare Lorentz omogenă arbitrară, se poate folosi doar o astfel de transformare elementară și două rotații ale spațiului tridimensional (prima care merge la axe spațiale speciale - de la x de-a lungul V , și al doilea pentru a reveni la cele originale), din punct de vedere tehnic calculul unei astfel de compoziții se va reduce la înmulțirea a trei matrici.

Proprietățile transformărilor Lorentz

Se poate observa că în cazul în care transformările Lorentz trec în transformările galileene . Același lucru se întâmplă atunci când se spune că relativitatea specială coincide cu mecanica newtoniană fie într-o lume cu o viteză infinită a luminii, fie la viteze mici în comparație cu viteza luminii. Acesta din urmă explică modul în care aceste două teorii sunt combinate - prima este o generalizare și rafinare a celei de-a doua, iar a doua este cazul limitativ al primei, rămânând în această calitate aproximativ corectă (cu o oarecare precizie, în practică adesea foarte, foarte mare). ) pentru o viteză de mișcare suficient de mică (în comparație cu viteza luminii). $c\la \infty ,$ $v/c\la 0.$
Transformările Lorentz păstrează intervalul invariant pentru orice pereche de evenimente (puncte spațiu-timp) - adică orice pereche de puncte spațiu-timp Minkowski:

s={\sqrt {c^{2}(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{2} }}={\sqrt {c^{2}(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}-(\Delta z' )^{2}}}.

Este ușor de verificat acest lucru, de exemplu, verificând în mod explicit că matricea de transformare Lorentz este ortogonală în sensul metricii Minkowski: $L$

\eta _{{ik}}=\left[{\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right],

definit printr-o astfel de expresie, adică este cel mai ușor de făcut pentru boost, iar pentru rotațiile tridimensionale este evident din definiția coordonatelor carteziene, în plus, deplasările originii nu modifică diferențele de coordonate. Prin urmare, această proprietate este valabilă și pentru orice compoziție de impulsuri, rotații și deplasări, care este grupul complet Poincaré; odată ce știm că transformările de coordonate sunt ortogonale , rezultă imediat că formula pentru distanță rămâne neschimbată atunci când trecem la un nou sistem de coordonate - prin definiția transformărilor ortogonale. $\sum _{i,\;k}L_{j}^{i}\eta _{ik}L_{m}^{k}=\eta _{jm}.$

În special, invarianța intervalului are loc și pentru caz, ceea ce înseamnă că hipersuprafața în spațiu-timp, care este determinată de egalitatea la zero a intervalului la un punct dat - conul de lumină - este fixată sub transformări Lorentz. (care este o manifestare a invarianței vitezei luminii). Interiorul celor două cavități ale conului corespunde unor intervale de timp - reale - de la punctele lor până la vârf, regiunea exterioară - spațială - pur imaginară (în semnătura intervalului adoptată în acest articol). $s=0,$
Alte suprafețe invariante ale transformărilor Lorentz omogene (analogii unei sfere pentru spațiul Minkowski) sunt hiperboloizi: un hiperboloid cu două foi pentru intervale de timp relativ la origine și un hiperboloid cu o singură foaie pentru intervale asemănătoare spațiului.
Matricea de transformare Lorentz pentru axele spațiale coliniare (în unități ) poate fi reprezentată ca: $c=1$ ${\begin{bmatrix}{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &-{\mathop {{\rm {sh))))\,\theta &0&0\\-{\mathop { {\rm {sh))))\,\theta &{\mathop {{\rm {ch))))\,\theta &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix)),$

unde . Este ușor de verificat acest lucru luând în considerare și verificând validitatea identității corespunzătoare pentru matricea de transformare Lorentz în forma obișnuită. $\theta ={\mathop {{\rm {Arth}}}}\,(v/c)\$ ${\rm {ch^{2}\,\theta -{\rm {sh^{2}\,\theta =1\ ))))$

Dacă acceptăm notația introdusă de Minkowski , atunci transformarea Lorentz pentru un astfel de spațiu se reduce la o rotație printr-un unghi imaginar în plan incluzând axa (pentru cazul mișcării de-a lungul axei , în plan ). Acest lucru este evident prin substituirea în matricea de mai sus - și modificarea ei ușor pentru a ține cont de coordonatele de timp imaginare introduse - și comparând-o cu matricea de rotație obișnuită. $x_{0}=i\,ct,\;x_{1}=x,\;x_{2}=y,\;x_{3}=z\$ $x_{0}\$ $x_{1}\$ $x_{0}x_{1}$ ${\mathop {{\rm {ch))))\,\theta ={\mathop {{\rm {cos))))\,(i\,\theta ),\;{\mathop {{\rm {sh}}}}\,\theta =-i\,{\mathop {{\rm {sin}}}}\,(i\theta )$

Consecințele transformărilor Lorentz

Modificarea lungimii

Lăsați tija să se odihnească în cadrul de referință , iar coordonatele începutului și sfârșitului acesteia sunt egale cu , . Pentru a determina lungimea tijei în sistem, coordonatele acelorași puncte sunt fixate în același timp cu sistemul . Fie lungimea corectă a tijei în , și lungimea tijei în . Apoi din transformările Lorentz rezultă: $K'$ $x_{1}'$ $x_{2}'$ $K$ $K$ $l_{0}=x_{2}'-x_{1}'$ $K'$ $l=x_{2}-x_{1)$ $K$

l_{0}=x'_{2}-x'_{1}={\frac {x_{2}-vt}({\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^ {2}}}}}}}-{\frac {x_{1}-vt}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} ={\frac {x_{2}-x_{1}}{{\sqrt {1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

l=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.

Astfel, lungimea tijei în mișcare, măsurată de observatori „staționari”, se dovedește a fi mai mică decât lungimea corespunzătoare a tijei.

Relativitatea simultaneității

Dacă două evenimente distanțate în spațiu (de exemplu, fulgerări de lumină) au loc simultan într-un cadru de referință în mișcare, atunci ele nu vor fi simultane în raport cu cadrul „fix”. Când din transformările Lorentz rezultă: $\Delta t'=0$

Dacă , atunci și . Aceasta înseamnă că, din punctul de vedere al unui observator staționar, evenimentul din stânga are loc înaintea celui din dreapta ( ). Relativitatea simultaneității duce la imposibilitatea sincronizării ceasurilor în diferite cadre de referință inerțiale în tot spațiul. $\Delta x=x_{2}-x_{1}>0$ $\Delta t=t_{2}-t_{1}>0$ $t_{2}>t_{1}$

Să fie în două sisteme de referință, de-a lungul axei , ceasuri sincronizate în fiecare sistem, iar în momentul coincidenței ceasului „central” (în figura de mai jos), acestea arată aceeași oră. Figura din stânga arată cum arată această situație din punctul de vedere al unui observator în sistem . Ceasurile dintr-un cadru de referință în mișcare arată ore diferite. Ceasurile din sensul mișcării sunt în urmă, iar cele din sens opus mișcării sunt înaintea ceasului „central”. Situația este similară pentru observatorii din (figura din dreapta). $X$ $S$ $S'$

Dilatarea timpului pentru corpurile în mișcare

Definiții înrudite

Invarianța Lorentz este proprietatea legilor fizice de a fi scrisă în același mod în toate cadrele de referință inerțiale (ținând cont de transformările Lorentz). Este în general acceptat că toate legile fizice trebuie să aibă această proprietate și nu au fost găsite abateri experimentale de la ea. Cu toate acestea, unele teorii nu au reușit până acum să fie construite în așa fel încât invarianța Lorentz să fie satisfăcută.

Istorie

Acest tip de transformare, la sugestia lui A. Poincaré , poartă numele fizicianului olandez H. A. Lorentz , care într-o serie de lucrări (1892, 1895, 1899) și-a publicat versiunea aproximativă (până la termenii de ordine ). Istoricii de mai târziu ai fizicii au descoperit că aceste transformări au fost publicate independent de alți fizicieni: $v^{2}/c^{2}$

1887: W. Vogt , în timp ce investiga efectul Doppler [4] [5] .
1897: J. Larmor , scopul său a fost să descopere transformări sub care ecuațiile lui Maxwell sunt invariante [6] .

Lorentz a studiat relația dintre parametrii a două procese electromagnetice , dintre care unul este staționar în raport cu eterul , iar celălalt este în mișcare [7] .

A. Poincare (1900) și A. Einstein (1905) [8] au dat un aspect și o înțelegere modernă formulelor de transformare . Poincaré a fost primul care a stabilit și a studiat în detaliu una dintre cele mai importante proprietăți ale transformărilor Lorentz - structura lor de grup și a arătat că „transformările Lorentz nu sunt altceva decât o rotație în spațiul de patru dimensiuni, ale căror puncte au coordonate ” $(x,\;y,\;z,\;it)$ [9] . Poincaré a introdus termenii „transformări Lorentz” și „ grup Lorentz ” și a arătat, pe baza modelului eteric, imposibilitatea detectării mișcării în raport cu cadrul de referință absolut (adică cadrul în care eterul este staționar), modificând astfel principiul relativității lui Galileo [8] .

Einstein, în teoria sa a relativității (1905) a extins transformările Lorentz la toate procesele fizice (nu doar electromagnetice) și a subliniat că toate legile fizice trebuie să fie invariante sub aceste transformări. Modelul geometric tridimensional al cinematicii teoriei relativității, în care transformările Lorentz joacă rolul de rotație a coordonatelor, a fost descoperit de Hermann Minkowski .

În 1910, V. S. Ignatovsky a fost primul care a încercat să obțină transformarea Lorentz pe baza teoriei grupurilor și fără a utiliza postulatul constanței vitezei luminii [10] .

Vezi și

Mișcare compusă (formula de transformare a vitezei în concordanță cu transformările Lorentz)
Thomas precesia
grupul Lorentz

Note

↑ 1 2 3 4 5 Shafarevici I. R., Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. - cap. VII, § 8. - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Petrovsky I. G. Prelegeri despre ecuații cu diferențe parțiale. - cap. II, § 14. - Orice editie.
↑ Frank F., Rote G. Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme Arhivat la 29 august 2014 la Wayback Machine // Ann. der Physic, Ser. 4, voi. 34, nr. 5, 1911, pp. 825-855 (traducere în limba rusă) (Articol în care s-a remarcat pentru prima dată că transformările liniar-fracționale sunt transformările cele mai generale care sunt în concordanță cu principiul relativității).
↑ Miller (1981), 114-115
↑ Pais (1982), Cap. 6b
↑ J. Larmor. Despre o teorie dinamică a mediului electric și luminos, partea 3, relațiile cu mediile materiale . - 1897. - T. 190. - S. 205-300.
↑ Vizgin V. P., Kobzarev I. Yu. , Yavelov V. E. Munca științifică și viața lui Albert Einstein: o recenzie a cărții de A. Pais // colecția Einstein, 1984-1985. - M . : Nauka, 1988. - S. 314 . — ISBN 5-02-000006-X .
↑ 1 2 Kudryavtsev P. S. Un curs de istoria fizicii în trei volume. - M . : Educaţie, 1974. - T. 3. - S. 46.
↑ Poincare A. Despre dinamica electronului. // Principiul relativității : Sat. lucrări ale clasicilor relativismului. - M .: Atomizdat , 1973. - p. 90-93, 118-160.
↑ „Câteva observații generale asupra principiului relativității” Copie arhivată din 2 iulie 2017 despre Wayback Machine Report la adunarea generală a departamentului de matematică și fizică a celei de-a 82-a întâlniri a naturaliștilor și medicilor germani de la Königsberg din 21 septembrie 1910;
von W.v. Ignatowsky, „Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip”, Verh. d. Deutsch. Fiz. Ges. 12, 788-96, 1910 (traducere în limba rusă)

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Physical Encyclopedia, vol. 2 - M .: Great Russian Encyclopedia p. 608 Arhivat la 2 martie 2012 la Wayback Machine și p. 609 Arhivat la 14 aprilie 2004 la Wayback Machine .
Grupul Fedorov F.I. Lorentz. — M .: Nauka , 1979. — 384 p.
Gel'fand I. M., Minlos R. A., Shapiro Z. Ya. Reprezentarea grupului de rotație și a grupului Lorentz. M., 1958.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Algebră liniară și geometrie. — M.: Fizmatlit, 2009.

Link -uri

Transformări Lorentz Arhivat la 25 august 2021 la Wayback Machine în The Relativistic World Arhivat la 23 august 2021 la Wayback Machine .

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4653925-6 J9U : 987007536145805171 LCCN : sh85078398